Desarrollo matemático de varias integrales

Resumen: A continuación mostraremos el desarrollo matemáticos de diferentes integrales, usando los métodos como integrales por partes, sustituciones, cambio de variable y fracciones parciales, gracias a estos se observa de manera clara la solución y las diferentes operaciones matemáticas básicas que se dan, con el fin de llegar a la solución deseada.

En el desarrollo del trabajo se observa la gran aplicación que tienen las integrales en la vida cotidiana y en aéreas de la ingeniera como ingeniería civil, por lo cual es de gran importancia entender el fondo y el significado físico de cada resultado.

Palabras claves: Integral, cambio de variable, sustitución, fracciones parciales.

TRABAJO COLABORATIVO 2

Para resolver diferentes tipos de integrales es indispensable tener en cuenta las propiedades básicas de las integrales (integrales inmediatas) y las diferentes técnicas o métodos de integración como integración por sustitución e integración por cambio de variable.

Evaluar las siguientes integrales

Desarrolle la siguiente integral

∫▒sec^2⁡√x/√x dx

Para la solución del siguiente problema nos apoyaremos en una de las técnicas más usadas, la cual proporciona el resultado de manera inmediata, dicha técnica es la de sustitución, la sustitución que realizaremos es:

u=√x du=1/(2√x) dx 2du=1/√x dx

Al tomar la respectiva sustitución vemos que la ecuación es de la forma que se plantea en la literatura de expresiones por solución de sustitución, ahora se reemplaza cada término y obtenemos la solución:

∫▒sec^2⁡(u) 2du=2∫▒sec^2⁡(u) du=2 tan⁡(u)+ C_1=2tan⁡√x+C_1

Como podemos apreciar la solución se da en la variable original ya que se reemplaza de manera inmediata cuando la respuesta obtenida se da en función de la variable de sustitución.

Desarrolle la siguiente integral

∫_1^4▒〖1/(1+√x) dx〗

De manera análoga se soluciona dicho problema con una sustitución, para este caso es:

u=√x du=1/(2√x) dx 2√x du=dx

El fin de la sustitución es para poder desprender la integral en varios términos solucionar de manera más practica según lo que se mostrara a continuación:

∫_1^4▒〖1/(1+u) dx=〗 2∫_1^4▒〖u/(1+u) du〗

u/(1+u)=1-1/(u+1)

2∫_1^4▒〖[1-1/(u+1)]du=〗 2[∫_1^4▒〖du -∫_1^4▒〖1/(u+1) du] =〗 2u-2 log⁡(u+1) 〗

Como se menciono anteriormente la facilidad por la solución se da gracias a la correcta sustitución realizada y al juego algebraico de los elementos de la función, ahora reemplazamos la variable original del problema

∫_1^4▒〖1/(1+√x) dx〗=2√x-2 log⁡〖(√x+1)〗=[2√1-2 log⁡(√1+1) ]-2√4-2 log⁡(√4+1)=log⁡(4/9)+2

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