Determinar cuándo un punto crítico es un máximo o un mínimo o un punto de inflexión (criterio de la primera derivada)

7.-  Determinar cuándo un punto crítico es un máximo o un mínimo o un punto de inflexión (criterio de la primera derivada). Mostrar cinco ejemplos.

Criterio de la primera derivada

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico [pic 1].

Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x3 − 6x2 + 4 en su punto de inflexión.

f'(x) = 6x2 − 12x          f''(x) = 12x − 12

12x − 12 = 0          x = 1

f'''(x) = 12            f'''(1) ≠ 0           f(1) = 0

Punto de inflexión: (1, 0)

f'(1) = 6 − 12 = − 6 = m      

y − 0 = −6(x − 1)        y = −6x + 6

Determinar a, b y c para que la función f(x)=x3 +ax2 + bx +c tenga un máximo para x = −4, un mínimo, para x = 0 y tome el valor 1 para x = 1.

f(x) =x3 + ax2 + bx +         c f′(x) = 3x2 + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c          a + b + c = 0

0 = 48 − 8a +b          8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b           b = 0

a = 6              b = 0            c = −6

Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

f(x) = ax3 +bx2 +cx +d      f′(x) = 3ax2 + 2bx + c

f(0) = 4          d = 4

f(2) = 0             8a + 4 b + 2c = 0

f′(0) = 0     c = 0

f′(2) =0                 12a + 4b + c = 0

a = 1       b = −3            c = 0         d = 4

Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).

f′(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d          f′′(x) = 12ax2 + 6bx + 2c

f′(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d          f′′(x) = 12ax2 + 6bx + 2c

      f(1) = 3                    a + b + c + d = 3

      f(0) = 0                   e = 0

       f′(1) = 3                  4a + 3 b + 2c + d = 3

       f′(0) = 2                  d = 2

       f′′(0) = 0                  2c = 0

a = −5        b = 6       c = 0       d = 2         e = 0

La curva f(x) = x3 + a x2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

8.-  Explicar la diferencia entre máximos y mínimos relativos y máximos y mínimos absolutos de una función en un intervalo. Mostrar un ejemplo de cada uno de ellos.

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

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