Diagrama De Venm

Diagrama de Venn

Diagramas de Venn que corresponden respectivamente a las relaciones topológicas de intersección, inclusión y disyunción entre dos conjuntos

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemática, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.

Índice

• 1 Introducción

o 1.1 Intersección

o 1.2 Inclusión

o 1.3 Disyunción

• 2 Orígenes e historia

• 3 Diagramas de Venn de enunciados

• 4 Diagramas de Venn y cantidad de definiciones

o 4.1 Diagrama de un conjunto

o 4.2 Diagrama de dos conjuntos

o 4.3 Diagrama de tres conjuntos

o 4.4 Diagramas de más de tres conjuntos

 4.4.1 Diagramas de Edwards

 4.4.2 Otros diagramas

• 5 Otras representaciones

o 5.1 Líneas de Leibniz

o 5.2 Círculos de Euler

o 5.3 Mapas de Karnaugh

o 5.4 Gráficos de Peirce

• 6 Véase también

• 7 Referencias

• 8 Enlaces externos

Introducción

Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de intersección, inclusión y disyunción sin cambiar la posición relativa de los conjuntos

Intersección

Dado que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones encerradas por sus líneas límite se superponen. El conjunto de los elementos que pertenecen simultáneamente a otros dos es la intersección de ambos.1

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

B = {1; 3; 5; 15}

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}

A = {x | x es divisor natural de 12}

B = {x | x es divisor natural de 15}

U = {x | x es natural menor o igual que 16}

Inclusión

Si todos los elementos de un conjunto son parte de los elementos de otro, se dice que el primero es un subconjunto del segundo o que está incluido en el segundo.1 En los diagramas de Venn, todas las regiones de superposición posibles deben ser representadas. Y, cuando hay regiones que no contienen elementos (regiones vacías), la situación se indica anulándolas (con un color de fondo distinto).2

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

B = {1; 2; 3; 6}

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}

A = {x | x es divisor natural de 12}

B = {x | x es divisor natural de 6}

U = {x | x es natural menor o igual que 12}

Disyunción

Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la región de superposición queda vacía.

A = {2; 4; 6; 8}

B = {1; 3; 5; 7; 9}

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

A = {x | x es par y de una cifra}

B = {x | x es impar y de una cifra}

U = {x | x es natural menor o igual que 10}

A la izquierda de los diagramas, las definiciones de los conjuntos por enumeración y por comprensión.

Orígenes e historia

Vitral del comedor del Caius College (Cambridge) en homenaje a John Venn y su creación

Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico.3 Estudiante y más tarde profesor del Caius College de la Universidad de Cambridge, Venn desarrolló toda su producción intelectual en ese ámbito.4

Los diagramas que hoy conocemos fueron presentados en julio de 1880 en el trabajo titulado De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos,5 que tuvo gran repercusión en el mundo de la lógica formal. Los diagramas de Venn tienen varios antecedentes. La primera representación gráfica de deducciones lógicas —y, en particular, de silogismos— se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz. Variantes de la misma fueron empleadas luego por George Boole y Augustus De Morgan, pero fue el gran matemático suizo Leonhard Euler quien primero introdujo una notación clara y sencilla.2 El siguiente diagrama muestra de otro modo la relación de inclusión del ejemplo dado en la introducción.

diagrama de Euler

Los diagramas de Euler se distinguen de los de Venn en dos aspectos:

• en ellos no aparecen las regiones vacías y

• el conjunto universal no se representa.

Si bien fue Venn quien introdujo la expresión "universo del discurso", él nunca representó al universal en sus trabajos.3 Por eso la idea de conjunto universal se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll, el lógico y autor de cuentos para niños que popularizó el concepto de conjunto complementario.1 El conjunto universal fue cuestionado por Bertrand Russell, quien mostró que con tal concepto la teoría de conjuntos resultaba inconsistente (véase paradoja de Russell). Sin embargo, dicha definición fue rescatada y aun justificada en una reciente extensión de los diagramas de Venn que distingue al universal del Todo (universo del discurso).6 Por las dos razones recién mencionadas, los diagramas de Venn llegaron a convertirse en el nuevo estándar para la formalización de operaciones lógicas y los sistemas de representación anteriores cayeron en desuso.2

Tiempo después de la aparición del primer artículo, Venn desarrolló algo más su nuevo sistema en el libro Lógica simbólica, publicado en 1881 y cuyo propósito era interpretar y revisar los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Este libro sirvió sobre todo para presentar ejemplos del uso de los diagramas.7 Otro libro de Venn que ayudó a divulgar el nuevo sistema de representación fue el titulado Los principios de la lógica empírica o inductiva, publicado en 1889.8

La primera constancia escrita del uso de la expresión "diagrama de Venn" es muy tardía (1918) y se encuentra en el libro A Survey of Symbolic Logic de Clarence Irving Lewis.9

Diagramas de Venn de enunciados

Como

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