Dinámica (Vibraciones Amortiguada y No Amortiguada)

Introducción

Se define como vibración mecánica al movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición que está en equilibrio. Generalmente, a estas vibraciones son de gasto innecesarios en el funcionamiento de las máquinas y por lo tanto indeseables ya que conlleva a la consecuencia de aumento de los esfuerzos y a las pérdidas de la energía que lo acompaña.

Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiado. El estudio de las vibraciones abarca una cantidad de información y es por ello que se han hechos escritos en forma total referidas a este tema. En consecuencia este estudio se limitará a los tipos más simples de vibraciones, a saber, las vibraciones de un cuerpo o un sistema de cuerpos con un grado de libertad.

Las vibraciones generalmente son producidas por el desplazamiento de un sistema cuerpos, a una posición de equilibrio que se encuentra estable. El sistema tiende a retornar a su posición bajo la acción de fuerzas restauradoras (ya sea fuerzas elásticas, como en el caso de una masa unida a un resorte, o fuerzas gravitacionales, como en el caso de un péndulo).  Pero el sistema por lo general alcanza su posición original con cierta velocidad adquirida que lo lleva más allá de esa posición. Puesto que el proceso puede repetirse de manera indefinida, el sistema se mantiene moviéndose de un lado a otro de su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de movimiento completo recibe el nombre de periodo de la vibración. El número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema a partir de su posición de equilibrio se conoce como amplitud de la vibración.

En este apartado estudiaremos la clasificación de estas vibraciones conociéndolas como ‘’Vibraciones Amortiguadas y No Amortiguadas‘’ aquellas vibraciones que contienen una vibración libre o forzada y aquellas que ignoran los efectos posibles de la fricción.

Vibraciones Capitulo 1

Como se definió en la introducción una vibración es el movimiento periódico de un cuerpo o sistema de cuerpos conectados desplazados de una posición de equilibrio.

Se pueden clasificar en dos tipos de vibración:

• Vibración Libre: Ocurren cuando el movimiento se mantiene por fuerzas gravitacionales o elásticas como el movimiento oscilatorio de un péndulo o de la vibración de una barra elástica.
• Vibración Forzada: Es provocada por una fuerza externa periódica o intermitente aplicada al sistema.

Ambos tipos de vibración puede ser manera amortiguada o no amortiguada. Las ‘’Vibraciones No Amortiguadas‘’ pueden continuar por tiempo indefinido por que los efectos de fricción se omiten en el análisis. Puede darse el caso de que en realidad tanto las fuerzas de fricción internas como las externas se encuentran de manera presente, el movimiento de todos los cuerpos vibratorio de hecho son ‘’Amortiguados‘’.

Vibraciones No Amortiguadas Capitulo 2

• Vibración libre no amortiguada.

Uno de los más simples movimientos vibratorios es la de vibración libre no amortiguada representada por el modelo del bloque y resorte que se muestra en la Ilustración 1. 

[pic 1] 

Ilustración 1

Se determina que el momento de vibración ocurre cuando el bloque se suelta desde una posición desplazada  de modo que el resorte tira del bloque. Continuamente alcanzara una velocidad con efecto de que dejara su posición de equilibrio cuando , y siempre y tanto la superficie de soporte sea lisa, el bloque oscilara de un lado a otro.[pic 2][pic 3]

La trayectoria del movimiento dependiente del tiempo del bloque puede determinarse con la ecuación del movimiento al bloque cuando está en la posición desplazada en . El diagrama de cuerpo libre se muestra en la Ilustración 1(b). La fuerza de restauración elástica  siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio, mientras que se supone que la aceleración a actué en la dirección del desplazamiento positivo. Como , se obtiene:[pic 4][pic 5][pic 6]

 ; [pic 7][pic 8]

Se observa que la velocidad es proporcional al desplazamiento del bloque. El movimiento descrito de esta manera se llama ‘’Movimiento Armónico Simple’’. Al reordenar los términos en una forma más estándar obtenemos:

[pic 9]

La constante  se llama frecuencia natural, y en este caso .[pic 10][pic 11]

La ecuación  también se puede obtener si consideramos que el bloque está colgado de modo que el desplazamiento  se mide a partir de la posición de equilibrio del bloque. Ilustración 2.[pic 12][pic 13]

[pic 14]

Ilustración 2

Cuando el bloque está en equilibrio, el resorte ejerce una fuerza dirigida hacia arriba de  en el bloque. Por consiguiente, cuando el bloque se desplaza a una distancia y hacia debajo de esta posición, la magnitud de la fuerza del resorte es , Ilustración 2(b).[pic 15][pic 16]

 Al aplicar la ecuación de movimiento obtenemos:

+↓ ; [pic 17][pic 18]

O bien:  la cual es de la misma forma que la ecuación  con [pic 19][pic 20][pic 21]

La ecuación  es una ecuación diferencial lineal de segundo grado homogénea con coeficientes constantes. Se puede demostrar por medio de los métodos de ecuaciones diferenciales, que la solución general es:[pic 22]

[pic 23]

Aquí A y B representan dos constantes de integración. La velocidad y aceleración del bloque se determinan por el cálculo de derivadas con respecto al tiempo sucesivo, de lo cual resulta:

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