Dinámica (Vibraciones Amortiguada y No Amortiguada)

Introducción

Se define como vibración mecánica al movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición que está en equilibrio. Generalmente, a estas vibraciones son de gasto innecesarios en el funcionamiento de las máquinas y por lo tanto indeseables ya que conlleva a la consecuencia de aumento de los esfuerzos y a las pérdidas de la energía que lo acompaña.

Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiado. El estudio de las vibraciones abarca una cantidad de información y es por ello que se han hechos escritos en forma total referidas a este tema. En consecuencia este estudio se limitará a los tipos más simples de vibraciones, a saber, las vibraciones de un cuerpo o un sistema de cuerpos con un grado de libertad.

Las vibraciones generalmente son producidas por el desplazamiento de un sistema cuerpos, a una posición de equilibrio que se encuentra estable. El sistema tiende a retornar a su posición bajo la acción de fuerzas restauradoras (ya sea fuerzas elásticas, como en el caso de una masa unida a un resorte, o fuerzas gravitacionales, como en el caso de un péndulo).  Pero el sistema por lo general alcanza su posición original con cierta velocidad adquirida que lo lleva más allá de esa posición. Puesto que el proceso puede repetirse de manera indefinida, el sistema se mantiene moviéndose de un lado a otro de su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de movimiento completo recibe el nombre de periodo de la vibración. El número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema a partir de su posición de equilibrio se conoce como amplitud de la vibración.

En este apartado estudiaremos la clasificación de estas vibraciones conociéndolas como ‘’Vibraciones Amortiguadas y No Amortiguadas‘’ aquellas vibraciones que contienen una vibración libre o forzada y aquellas que ignoran los efectos posibles de la fricción.

Vibraciones Capitulo 1

Como se definió en la introducción una vibración es el movimiento periódico de un cuerpo o sistema de cuerpos conectados desplazados de una posición de equilibrio.

Se pueden clasificar en dos tipos de vibración:

• Vibración Libre: Ocurren cuando el movimiento se mantiene por fuerzas gravitacionales o elásticas como el movimiento oscilatorio de un péndulo o de la vibración de una barra elástica.
• Vibración Forzada: Es provocada por una fuerza externa periódica o intermitente aplicada al sistema.

Ambos tipos de vibración puede ser manera amortiguada o no amortiguada. Las ‘’Vibraciones No Amortiguadas‘’ pueden continuar por tiempo indefinido por que los efectos de fricción se omiten en el análisis. Puede darse el caso de que en realidad tanto las fuerzas de fricción internas como las externas se encuentran de manera presente, el movimiento de todos los cuerpos vibratorio de hecho son ‘’Amortiguados‘’.

Vibraciones No Amortiguadas Capitulo 2

• Vibración libre no amortiguada.

Uno de los más simples movimientos vibratorios es la de vibración libre no amortiguada representada por el modelo del bloque y resorte que se muestra en la Ilustración 1. 

[pic 1] 

Ilustración 1

Se determina que el momento de vibración ocurre cuando el bloque se suelta desde una posición desplazada  de modo que el resorte tira del bloque. Continuamente alcanzara una velocidad con efecto de que dejara su posición de equilibrio cuando , y siempre y tanto la superficie de soporte sea lisa, el bloque oscilara de un lado a otro.[pic 2][pic 3]

La trayectoria del movimiento dependiente del tiempo del bloque puede determinarse con la ecuación del movimiento al bloque cuando está en la posición desplazada en . El diagrama de cuerpo libre se muestra en la Ilustración 1(b). La fuerza de restauración elástica  siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio, mientras que se supone que la aceleración a actué en la dirección del desplazamiento positivo. Como , se obtiene:[pic 4][pic 5][pic 6]

 ; [pic 7][pic 8]

Se observa que la velocidad es proporcional al desplazamiento del bloque. El movimiento descrito de esta manera se llama ‘’Movimiento Armónico Simple’’. Al reordenar los términos en una forma más estándar obtenemos:

[pic 9]

La constante  se llama frecuencia natural, y en este caso .[pic 10][pic 11]

La ecuación  también se puede obtener si consideramos que el bloque está colgado de modo que el desplazamiento  se mide a partir de la posición de equilibrio del bloque. Ilustración 2.[pic 12][pic 13]

[pic 14]

Ilustración 2

Cuando el bloque está en equilibrio, el resorte ejerce una fuerza dirigida hacia arriba de  en el bloque. Por consiguiente, cuando el bloque se desplaza a una distancia y hacia debajo de esta posición, la magnitud de la fuerza del resorte es , Ilustración 2(b).[pic 15][pic 16]

 Al aplicar la ecuación de movimiento obtenemos:

+↓ ; [pic 17][pic 18]

O bien:  la cual es de la misma forma que la ecuación  con [pic 19][pic 20][pic 21]

La ecuación  es una ecuación diferencial lineal de segundo grado homogénea con coeficientes constantes. Se puede demostrar por medio de los métodos de ecuaciones diferenciales, que la solución general es:[pic 22]

[pic 23]

Aquí A y B representan dos constantes de integración. La velocidad y aceleración del bloque se determinan por el cálculo de derivadas con respecto al tiempo sucesivo, de lo cual resulta:

[pic 24]

[pic 25]

Cuando las ecuaciones anteriores se sustituyen en la ecuación  la ecuación diferencial se satisface lo que demuestra que la ecuación  si es la solución de .[pic 26][pic 27][pic 28]

La constante de integración en la ecuación en general se determina a partir de las condiciones iniciales del problema. Por ejemplo, suponga que el bloque de la Ilustración 1(a) se ha desplazado a una distancia a la derecha de su posición de equilibrio y que eso le imprime una velocidad inicial (positiva) dirigida a la derecha. Al sustituir cuando en la ecuación  se obtiene . Y como  cuando , utilizando la ecuación obtenemos  Si estos valores se sustituyen en la ecuación , la ecuación que describe el movimiento se hace:[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

[pic 41]

La ecuación  también puede expresarse en función de un movimiento senoidal simple. Para demostrar esto, sea:  y . [pic 42][pic 43][pic 44]

Donde  y  son constantes nuevas que se determinaran en lugar de  y  al sustituir en la ecuación  obtenemos: [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

[pic 50]

Y como , entonces:[pic 51]

[pic 52]

Si esta ecuación se traza sobre un eje  , se obtiene la gráfica que se muestra en la Ilustración 3. [pic 55][pic 53][pic 54]

El desplazamiento máximo del bloque a partir de su posición de equilibrio se define como la amplitud de vibración. De acuerdo con la ilustración de la ecuación la amplitud es . El ángulo  se llama ángulo de fase, puesto que representa la cantidad que la curva esta desplazada del origen cuando . Podemos relacionar dos contantes con A y B por medio de las ecuaciones  y . Al elevar al cuadrado y sumar estas dos ecuaciones, la amplitud es:[pic 62][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

[pic 63]

Si la ecuación  se divide entre la ecuación  el ángulo de fase es por tanto:[pic 64][pic 65]

[pic 66]

Observe que la curva seno, ecuación , completa un ciclo en el tiempo  (tau) cuando , o:[pic 67][pic 68][pic 69]

[pic 70]

Este intervalo se llama periodo, Ilustración 3. Con la ecuación . El periodo también puede representarse como:[pic 71]

[pic 72]

Por último, la frecuencia  se define como el número de ciclos completados por unidad del tiempo, lo cual es reciproco del periodo; es decir: [pic 73]

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