Dos Familias De Curvas Ortogonales

En cada caso halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvas que se da ($c$ denota una constante cualquiera):

\begin{enumerate}

\item Familia de curvas: $y^2 - x^2 = c,$ \\

Si $y$ es una curva ortogonal a una de las curvas de la familia dada, entonces

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\partial}{\partial y} (y^2 - x^2 - c)}{\frac{\partial}{\partial x} (y^2 - x^2 - c)} = \frac{2y}{-2x} = -\frac{y}{x};$$

separando variables,

$$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x};$$

$$\ln y = - \ln x + \ln k;$$

$$y = \frac{c}{x};$$

luego la familia de curvas ortogonales es

$$xy = k.$$

\item Familia de curvas: $x^2 + y^2 = cx,$\\

Para una curva ortogonal $y$, se satisface

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2 - cx)}{\frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2 - cx)} = \frac{2y}{2x - c};$$

y como $c = x + \frac{y^2}{x}$, entonces

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x-\frac{y^2}{x}} = \frac{2y}{\frac{x^2 - y^2}{x}} = \frac{2xy}{x^2 - y^2};$$

para resolver la ecuaci\'on diferencial, hacemos

$$(x^2 - y^2)dy = 2xy dx;$$

$$2xy dx + (y^2 - x^2)dy = 0;$$

esta ecuaci\'on es homog\'menea de grado 2, pero tambi\'en se puede resolver encontrando un factor integrante para volverla exacta, es decir,\\

$M(x,y) = 2xy$; \hspace{1.9cm} $N(x,y) = y^2 - x^2$;\\

$M_y = 2x$; \hspace{3cm} $N_x = -2x$;\\

de donde,

$$\frac{N_x - M_y}{M} = \frac{-4x}{2xy} = 2y^{-1}; \hspace{7cm}$$

y por lo tanto el factor integrante es $\mu(y) = e^{-\int 2y^{-1}dy} = y^{-2}.$

Multiplicando en la ecuaci\'on diferencial,

$$2xy^{-1} dx + (1 - x^2y^{-2}) dy = 0;$$

que es una ecuaci\'on exacta. Por lo tanto existe una funci\'on $f$ tal que

$$f(x,y) = \int 2xy^{-1} dx = x^2y^{-1} + g(y);$$

adem\'as $\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - x^2y^{-2}$, esto es

$$-x^2y^{-2} + g'(y) = 1 - x^2y^{-2};$$

de donde $g'(y) = 1$, entonces $g(y) = y + k$.

Luego $x$ y $y$ satisfacen

$$\frac{x^2}{y} + y + k = 0;$$

por lo tanto la familia de curvas ortogonales es

$$x^2 + y^2 +ky = 0.$$

\end{enumerate}

...