ESTADISTICOS PUNTUALES

ESTADISTICOS PUNTUALES:

Una herramienta adicional en la elección de una distribución que represente un conjunto de datos utiliza un estadístico basado en los parámetros que identifican la distribución. Dos casos  resultan de particular interés por su simplicidad, así dados los datos X1,.......Xn:

DISTRIBUCION GAMA Y EXPONENCIAL: (Continua)

Definido el coeficiente de variación de la distribución δ =x /  s

δ ≈ 1  (0.9<δ <1.1) sugiere distribución Exponencial para representar los datos

δ > 1  sugiere distribución Gama o Weibull  con α <1 , para  representar los datos

δ < 1  sugiere distribución Gama o Weibull  con α > 1 , para representar los datos

DISTRIBUCION DE POISSON :(Discreta)

Definido el parámetro de Lexis  τ = s2 / x

τ ≈ 1 sugiere distribución de Poisson para representar los datos

PRUEBA “CHI – CUADRADO” PARA LA BONDAD DE AJUSTE DE UNA DISTRIBUCION

Esta prueba permitirá evaluar con un determinado nivel de confianza, el ajuste de una distribución determinada a un conjunto de datos. Debemos tener presente que no existe una única distribución de probabilidad que sea aplicable en una situación real especifica. El tamaño de la muestra de datos será relevante puesto que en general, una mínima cantidad de ellos implicara una bajísima probabilidad de  rechazar cualquier distribución, mientras que datos en exceso implicaran un rechazo de casi cualquier distribución.

Esta prueba es aplicable  con ligeras modificaciones, tanto a distribuciones discretas como continuas.

N: Nº de datos (N=>50)[pic 1]

i: Nº de orden de la clase (i : 1....K)

Oi: Frecuencia observada de la clase i

Pi :Probabilidad teórica asociada a la clase i

Ei =NPi : Frecuencia esperada de la clase i (Ei=>5)

(De ser necesario combinan clases adyacentes para lograr la condición anterior)

K: Nº total de clases

S : Nº de parámetros de la distribución estimados a partir de los datos.

ν =K-S-1 : Nº de grados de libertad de la distribución

α : Nivel de significación de la prueba (Prob de rechazar hipótesis verdadera)

χ20 : Estadístico de prueba

(Un valor bajo (alto) de este parámetro es indicador de un buen (mal ) ajuste)

χ2α,ν: Valor critico de la distribución Chi – Cuadrado para  α y ν dados

(EXCEL : χα,ν = PRUEBA.CHI.INV(α , ν) )

  si    ( χ20  < χ2α,ν )    se acepta la FDP propuesta para la variable aleatoria [pic 2]

  si    ( χ20  > χ2α,ν )   se rechaza la FDP propuesta para la variable aleatoria

PRUEBA CHI-CUADRADO PARA DISTRIBUCIONES CONTINUAS

La prueba Chi-Cuadrado para distribuciones continuas, se recomienda sea  realizada utilizando utilizando intervalos de clase de igual probabilidad para agrupar los datos, es decir , la probabilidad asociada a cada intervalo esta dada por :

 Pi = 1/ K      ∀ i  / ( i :1....K).

Los siguientes valores para Pi resultan convenientes al ser racionales:

De la condición Ei =NPi (=>5)establecida anteriormente  y como Pi = 1 / K para cada clase , podemos obtener una relación entre el numero de datos N y el numero de clase K , que asegura la condición Ei =>5  para cada clase.

[pic 3]

Finalmente debemos señalar que la clasificación de los datos en  intervalos de clase de igual probabilidad (Pi = 1/ K) y no de igual longitud , obliga a calcular los extremos(Xi) de los intervalos de clase usando la FDA inversa de la distribución  elegida:

[pic 4]

FDP EXPONENCIAL:      [pic 5]       i :1.....K

FDP UNIFORME:         [pic 6]       i :1.....K

FDP NORMAL: (EXCEL)     [pic 7]         i :1.....K

FDP GAMA: (EXCEL)      [pic 8]       i :1.....K

Obs Revisar el libro de Banks (pag 379) para revisar el procedimiento general de obtención de las expresiones para determinar los extremos superiores de los intervalos de clases.

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