Econometría Práctica . Modelo de Regresión Lineal Simple

Econometría Práctica

  Modelo de Regresión Lineal Simple

1) De 40 observaciones se han obtenido las siguientes sumas y sumas de cuadrado

 = 40                      = 10[pic 1][pic 2]

 = 30                      = 10[pic 3][pic 4]

 = 20[pic 5]

Se pide:

a) Desarrollar las ecuaciones normales de Gauss para estimar el modelo siguiente por MCO

Yt =  +  + [pic 6][pic 7][pic 8]

b) Calcular los estimadores de ;  y de la varianza de µ[pic 9][pic 10]

c) Calcular las varianzas de  y [pic 11][pic 12]

d) Calcular el R2 e interpretarlo

e) Construir un intervalo del 95% de confianza para  e interpretarlo[pic 13]

f) Probar la hipótesis de que  es igual a 1, usando un nivel de significación del 5%[pic 14]

Solución

a)  = [pic 15][pic 16]

Derivamos parcialmente la suma residual de cuadrado respecto a  para aplicar el proceso de minimización de la misma al estimador[pic 17]

 =    2 = 0[pic 18][pic 19]

                    - + n +  = 0     desaparece 2 (pasa div. a cero); se aplica sumatoria y [pic 20][pic 21][pic 22]

                                                                   distributiva con  -1

                       = n +         Despejamos la variable Y[pic 23][pic 24][pic 25]

[pic 26]

                      = n +           Primera ecuación[pic 27][pic 28][pic 29]

Derivamos parcialmente la suma residual de cuadrado respecto a  para aplicar el proceso de minimización de la misma al estimador[pic 30]

   =     2 = 0[pic 31][pic 32]

                         Σ = 0  desaparece 2 y se distribuye –x[pic 33]

                         - Σ +  Σ +    = 0     se aplica la sumatoria a la expresión del paréntesis[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

                         Σ =  Σ +  = 0[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

                          Σ =  Σ +  = 0[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

                          Σ =  Σ +         Segunda Ecuación[pic 50][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

b) Estimación de [pic 51]

            = n +                 Sistema de ecuaciones que puede resolverse por el método[pic 52][pic 53][pic 54]

                                                             De Gauss, al ser de dos ecuaciones y dos incógnitas

           Σ =  Σ + [pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

Para   =    =  =  =  = 0,254[pic 64][pic 65][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]

Estimación de [pic 66]

Para   =  =  =  =  = 0,64[pic 72][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

Modelo estimado: Y = 0,254 + 0,64X[pic 73]

Estimador de la Varianza residual

=      [pic 74][pic 75]

SCR = SCT – SCE

SCT =  -                         SCE =  =  - n)         SCR = 37,5 – 11,26[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]

                                                                                                                      SCR = 26,24[pic 81]

 =  =  = 0,25                        =  =  = 0,25[pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87]

SCT = 40 – 40(0,0625)                  SCE =  (30 – 40.0,0625)[pic 89][pic 88]

SCT = 37,5                                    SCE = 0,4096.(27,5)

                                                       SCE = 11,26[pic 90]

=  =  = 0,69[pic 94][pic 91][pic 92][pic 93]

c) Varianza [pic 95]

    =  =  =  =  = 0,1035[pic 101][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100]

  =  =  =  =  = 0,138[pic 107][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106]

d) R2

   R2 =  =  = 0,30[pic 110][pic 108][pic 109]

e) El intervalo determinado considerando la distribución de probabilidad “t” (no se conoce la varianza poblacional) será:

          - t(n-2) (1-α/2)<  <  + t(n-2) (1-α/2)      = (1 – α)   [pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115]

Considerando   =  =  = 0,371          [pic 116][pic 117][pic 118]

                                 0,64  -t(38) (0,975). 0,371 <  < 0,64 + t(38) (0,975)0,371      = 0,95[pic 119]

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