MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

EJEMPLO: Se desea construir un modelo de regresión para relacionar las calificaciones parciales y finales en cierta materia, utilizando una muestra aleatoria de 10 estudiantes que han tomado esta materia.

ESTUDIANTE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

NOTA PARCIAL 39 43 21 64 57 43 38 75 34 52

NOTA FINAL 65 75 52 82 92 80 73 98 56 75

Se observa que al incrementar x (variable de predicción) también se incremente y (respuesta) con una tendencia aproximadamente lineal.

OBTENER LA RECTA DE MÍNIMOS CUADRADOS PARA EL EJEMPLO: y = ax + b

Donde se obtiene:

a = 0.836

b = 35.83

Recta de Mínimos Cuadrados:

Pronosticar la calificación final si la calificación parcial es 50.

Y=b+ax

=35.82+0.83(50)

=77

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

Para determinar el tipo de relación lineal entre las variables x y y del modelo de Regresión Lineal se usa el Coeficiente de Correlación Lineal que se define a continuación:

Calcular el Coeficiente de Correlación para el ejemplo:

x ̅ = 46.6

y ̅= 74.8

Sxx = 2218.4

Syy = 1885.6

Sxy = 1855.2

r = 0.9071

El resultado indica una fuerte Correlación Lineal POSITIVA

SCT: Suma de Cuadrados Total.

SCR: Suma de Cuadrados de Regresión.

SCE: Suma de Cuadrados del Error.

Mientras menor sea el valor de SCE, mayor es la eficacia del modelo de mínimos cuadrados obtenido, pues su variabilidad se ajusta o explica muy bien a la variabilidad de los datos.

ENCONTRAR LOS COMPONENTES DE VARIACIÓN PARA EL MODELO DEL EJEMPLO:

SCT = SCR + SCE

SCT = Ʃ(yi - y ̅)2 = 1885.6

y = 35.83 + 0.836 x

x = 39 y = 35.83 + 0.836 (39) = 68.434

x = 43 y = 35.83 + 0.836 (43) = 71.778

x = 21 y = 35.83 + 0.836 (21) = 53.386

x = 64 y = 35.83 + 0.836 (64) = 89.334

x = 57 y = 35.83 + 0.836 (57) = 83.482

x = 43 y = 35.83 + 0.836 (43) = 71.778

x = 38 y = 35.83 + 0.836 (38) = 67.598

x = 75 y = 35.83 + 0.836 (75) = 98.53

x = 34 y = 35.83 + 0.836 (34) = 65.254

x = 52 y = 35.83 + 0.836 (52) = 79.302

SCR = Ʃ(y ̂i - y ̅)2 = 1550.4

SCE = Ʃ(yi - y ̂i)2 = 334.138

También se puede usar la definición para obtener directamente uno de los tres componentes: SCT = SCR + SCE

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN

El coeficiente de determinación es otra medida de relación lineal entre las variables x y y. Es útil para interpretar la eficiencia de la Recta de Mínimos Cuadrados para explicar la variación de la variable de respuesta (v).

El valor de r2 mide el poder de explicación del Modelo de Mínimos Cuadrados. Si r2 es cercano a 1 significa que la Recta de Mínimos Cuadrados se ajusta muy bien a los datos.

CALCULAR EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN PARA EL EJEMPLO.

r2 = 0.8222

El poder de explicación del Modelo de Mínimos Cuadrados es: 82.22%

TABLA DE ANÁLISIS DE LA VARIANZA

SCT = SCR + SCE

SCR tiene 1 grado de libertad (varianza ponderada con el modelo con dos parámetros).

SCE tiene n – 2 grados de libertad (existen n datos y dos parámetros en el modelo).

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