Ecuaciones difererenciales de primer Orden con solucion unica

Actividad 2

Compruebe que las siguientes funciones constituyen soluciones de las ecuaciones diferenciales correspondientes:

y=x^2+c y´=2x

Derivando y´=2x ∴ es solucion

y=cx^2 xy´=2y

y´=2cx

Sustituyendo en la ecuación diferencial

x(2cx)=2(cx^2)

2cx^2=2cx^2 ∴ es solucion

y=c_1 sin⁡2x+c_2 cos⁡2x y´´+4y=0

y´=2c_1 cos⁡2x-2c_1 sin⁡2x

y´´=-4c_1 sin⁡2x-4c_2 cos⁡2x

Sustituyendo en la ecuación diferencial

-4c_1 sin⁡2x-4c_2 cos⁡2x+4(c_1 sin⁡2x+c_2 cos⁡2x )=0

-4c_1 sin⁡2x-4c_2 cos⁡2x+4c_1 sin⁡2x+c_2 cos⁡2x=0

∴ 0=0 es solucion

y=c_1 e^2x+c_2 e^(-2x) y´´-4y=0

y´=2c_1 e^2x-2c_2 e^(-2x)

y´´=4c_1 e^2x+4c_1 e^(-2x)

Sustituyendo la ecuación diferencial

y´´-4y=0

4c_1 e^2x+4c_2 e^(-2x)-4(c_1 e^2x+c_2 e^(-2x) )=0

4c_1 e^2x+4c_2 e^(-2x)-4c_1 e^2x-4c_1 e^(-2x)=0

∴ 0=0 es solucion

Considere la siguiente ecuación diferencial (ED):

y´´-5y´+6y=0

Sin mencionar nada sobre la forma en que en realidad se pueden encontrar las soluciones, compruebe que y_1 (x)=e^2x y y_2 (x)=e^3x, ambas son soluciones de la ED.

y_1´=2e^2x y_2´=3e^3x

y_1´´=4e^2x y_2´´=9e^3x

Para y_1

4e^2x-5(2e^2x )+6e^2x=0

4e^2x-10e^2x+6e^2x=0

10e^2x-10e^2x=0

∴ 0=0 es solucion

Para y_2

9e^3x-5(3e^3x )+6(e^3x )=0

9e^3x-15e^3x+6e^3x=0

15e^3x-15e^3x=0

∴ 0=0 es solucion

Para la siguiente ecuación diferencial encuentre la solución que satisface la condición inicial dada:

y´=xe^x y=3 cuando x=1

dy/dx=xe^x

∫▒dy=∫▒〖xe^x dx〗

u=x dv=e^x dx

du=dx v=e^x

y=xe^x-∫▒〖e^x dx〗

y=xe^x-e^x+c Pero y(1)=3

3=(1)e´-e´+c

3=e-e∓c

3=c

⇒y=xe^x-e^x+3

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