Ejercicio No.14
fs.scorpio.10Tarea26 de Junio de 2014
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Ejercicio No.14
El volumen del cono de arena es: V = π.r2.h
Como r = h en todo instante, podemos concluir que
V= π.h3 ∀ t ≥ 0 siendo h función de t . r
h
Se te pide calcular la velocidad de variación del volumen V, es decir el valor de
dt
dV cuando h = 1m .
Derivando la expresión del volumen respecto de t :
dt
3. .h . dh
dt
dV = π 2
Ana Coló Herrera 5 9 Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – Resoluciones
El enunciado indica como dato que para h = 1m ,
min.
0.25 m
min.
25 cm
dt
dh = =
Sustituyendo estos valores obtienes:
dt
dV = 3.π.(1)2.0.25 = 0.75. π
min.
m3
El volumen está entonces aumentando a razón de 0.75.π metros cúbicos por minuto ,
cuando la altura es de 1m.
Ejercicio No. 15
B y v C
h X
AC=100m A V 81.5m
OA=1.50m
0
A medida que la cometa se mueve horizontalmente su distancia X al niño varía con
el tiempo , y la velocidad V a la que al niño va soltando hilo está dada por la
derivada
dt
dX . Como se te pide esa velocidad cuando la distancia es de 100m ,
deberás calcular
dt
dX (100).
Del triángulo ABC, aplicando el teorema de Pitágoras puedes escribir:
X2 = h2 + y2 (1) donde X e y son funciones de t , y h es constante.
Ana Coló Herrera 6 0 Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – Resoluciones
.Derivando (1) respecto de t se obtiene:
dt
2.y.dy
dt
2.X.dX =
dt
dy
X
y
dt
. dX =
De (1), siendo X = 100 m , h = 81.5 – 1.5 = 80 m se concluye y= 1002 − 802 = 60m
Como v=
min.
20 m
dt
. dy = sustituyendo valores obtienes finalmente:
min.
.20 12 m
100
v = 60 =
Ejercicio No. 16
a) La expresión de la temperatura en función del tiempo es:
T(t) = 25 – A.e-K.t
Para t = 0 T = 10 0C 10 = 25 – A A = 15
t = 20 T = 15 0C 15 = 25 – 15 e -20 K 15e -20 K = 10
Aplicando logaritmos despejas el valor de K: - 20K = K 0.02
15
L10 ⇒ ≅
b) Para bosquejar la función calculamos:
T(0) = 10 lim (25 – e- 0.02 t) = 25 0.3.e 0.02t
dt
dT = −
t +∞
Observa que 0.3.e 0.02t
dt
dT = − es ≥ 0 ∀t, por lo que la función es creciente en el
intervalo.
Ana Coló Herrera 6 1 Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – Resoluciones
Calculando la derivada segunda tendremos: 6.10 e 0 t 0
dt
d T -3 0.02t
2
2
= − − < ∀ ≥
La función tiene entonces concavidad negativa.
El bosquejo gráfico será como el indicado en la figura.
T
Recta tangente en t=0
25
10
0 t
Fig. (1)
c) La rapidez de variación de la temperatura está dada por la función:
0.3.e 0.02t
dt
dT = − (1)
Esta función es claramente monótona decreciente en [ 0,+∞), conclusión a la que
puedes llegar analizando directamente la expresión anterior, derivándola y
estudiando el signo de esta derivada o razonando sobre el bosquejo de la función T
que tienes en la figura (1).
Si analizas la expresión (1) puedes observar que la exponencial tiene exponente
negativo siendo por tanto factor decreciente del producto. El otro factor es la
constante 0.3 y por consiguiente el producto decrece al aumentar t.
...