Ejercicios de lógica

• Ejemplificación (o particularización)

• Una idea crucial en la deducción de primer orden es la de ejemplificación.

• Ejemplificar es presentar un caso particular de una expresión cuantificada:

Universal: 1. Todo el mundo es culpable

å 1’. Gutiérrez es culpable

Existencial: 2. Alguno es culpable

å 2’. Gutiérrez es culpable

• Nótese la diferencia: Si 1 es verdad, 1’ también lo es, pero si 2 es verdad, 2’ no tiene por qué serlo.

• Ejemplificación

• En términos formales, ejemplificar un cuantificador consiste en eliminar dicho cuantificador, sustituyendo todas las ocurrencias de la variable que liga, por una determinada constante individual:

∀xPx => Pa

∀x(Px ∧ Qx) => Pa ∧ Qa

∀x¬(Px → Qx) => ¬(Pa → Qa)

OJO! ∀xy(Px → Qy) => ∀y(Pa → Qy)

∃x¬Px => ¬Pa

∃xRxx => Raa

OJO! ∃xyRxy => ∃yRay

• Ejemplificación

• Un universal es como una conyunción gigante (tal vez infinita). Si afirmo:

Todo número par es divisible por 2

es equivalente a afirmar:

2 es divisible por 2 y 4 es divisible por 2 y 6 es divisible por 2 y ... y 234738 es divisible por 2 y ...

• Un existencial es como una disyunción gigante:

Algún número par es primo

equivale a:

2 es primo o 4 es primo o 6 es primo o... o 76 es primo o

• Ejemplificación

• Esto muestra por qué la ejemplificación de un enunciado universal se sigue siempre de dicho enunciado, mientras que la ejemplificación de un enunciado existencial no se sigue de él, es decir, no es su consecuencia lógica:

De (α ∧ β ∧ γ) se siguen tanto α como β como γ

De (α ∨ β ∨ γ) no podemos decir que se sigue α ni tampoco que se sigue β ni γ, lo único que sabemos es que si aquella disyunción es verdadera, debe darse al menos uno de los tres, pero no sabemos cuál.

Por tanto: debemos tener mucho cuidado al ejemplificar un existencial

• Introducir un cuantificador

• Introducir un cuantificador es la operación inversa de la ejemplificación: desde un enunciado particular obtenemos uno más general, bien porque lo extendemos a la totalidad (universal), a una parte indeterminada de ella (existencial):

1. Gutiérrez es panameño

å 1’ Todo el mundo es panameño

2. Gutiérrez es panameño

å 2’ Alguien es panameño

Ahora es 2’ la que se sigue de 2, mientras que 1’ no se sigue de 1.

• Introducir un cuantificador

• Podemos verlo de nuevo en términos de conyunciones y disyunciones:

De α se sigue (α ∨ β) y por tanto también se sigue

(α ∨ β ∨ γ ∨ ...), que viene a equivaler a un ∃.

De α no se sigue (α ∧ β ∧ γ ∧ ...), que viene a equivaler a un ∀.

Por tanto: en este caso hay que tener cuidado con la introducción del universal

• Resumen

• Tendremos 4 casos:

1. ELIMINACIÓN DEL UNIVERSAL

2. INTRODUCCIÓN DEL EXISTENCIAL

3. INTRODUCCIÓN DEL UNIVERSAL

4. ELIMINACIÓN DEL EXISTENCIAL

Los casos problemáticos son 3 y 4, de manera que comenzaremos por los menos problemáticos.

Lo haremos primero de manera informal y luego formal.

• 1. Eliminación del universal

• Consideremos esta deducción:

A. Todo mayordomo es un criminal

B. Adams es mayordomo

Por tanto: C. Adams es un criminal

¿cómo llegamos de A a C?

• Un modo informal de verlo es:

(A) nos dice que si uno es mayordomo, es un criminal, así que si Adams es mayordomo, Adams es criminal

(B) nos da el antecedente del condicional anterior

Por tanto, (C) resulta de aplicar un modus ponens sobre ese condicional.

• 1. Eliminación del universal

• Lo que hemos hecho es ejemplificar (A), eliminando el universal, para aplicar aquello que afirma (A) a un individuo cualquiera (dentro del dominio sobre el que hablamos)

• En términos formales:

1. ∀x(Mx → Cx) Premisa

2. Ma Premisa

3. Ma → Ca Eliminación del Universal 1

4. Ca MP 2, 3

• 1. Eliminación del universal

• Consideremos otro ejemplo:

A. Todo mayordomo odia a los cocineros

B. Bert es mayordomo

C. Carl es cocinero

Por tanto, D. Bert odia a Carl

• En este razonamiento seguimos la misma pauta que en el anterior, pero teniendo en cuenta que, como estamos relacionando dos grupos, necesitamos particularizar en un individuo para cada grupo. Lo que (A) dice es: si uno es mayordomo y otro es cocinero, el primero odia al segundo.

• 1. Eliminación del universal

• Veámoslo de manera formal:

1. ∀xy((Mx ∧ Cy)→ Oxy) Premisa

2. Mb Premisa

3. Cc Premisa

4. ∀y((Mb ∧ Cy)→ Oby) EU 1

5. (Mb ∧ Cc)→ Obc EU 4

6. Mb ∧ Cc IC 2, 3

7. Obc MP 5, 6

• 1. Eliminación del universal

• Todo cuantificador lleva una variable. Al eliminar el cuantificador universal, miramos la fórmula que cae bajo su alcance y sustituimos las ocurrencias de la variable por una constante individual cualquiera.

• Sólo es factible eliminar el universal cuando el cuantificador es el “símbolo dominante” de la fórmula, i.e., cuando el cuantificador no se aplica sólo a una parte de la fórmula.

∀x(Px → Qx) => Pa → Qa

∀x(Px → ∀yQy) => Pa → ∀yQy

∀xPx → ∀xQx => Pa → ∀xQx INCORRECTO

=> Pa → Qa INCORRECTO

∀y(Pb → Qy) => Pb → Qa

∀y(Pb → Qy) => Pb → Qb

• 2. Introducción del existencial

• Consideremos esta deducción:

A. Adams es mayordomo

Por tanto, B. Alguien es mayordomo

• Es decir, si decimos de un individuo particular que tiene cierta propiedad P, podemos decir que hay al menos un individuo que tiene dicha propiedad:

1. Ma Premisa

2. ∃xMx Introducción del Existencial 1

• 2. Introducción del existencial

• Para introducir el existencial en una fórmula, hay que sustituir cada ocurrencia de la misma constante en dicha fórmula por una misma variable, y colocar la fórmula bajo el alcance del existencial, con la variable en cuestión:

A. Bert envenena a Claire

Por tanto, B. Alguien envenena a alguien

1. Ebc Premisa

2. ∃xExc IE 1

3. ∃xyExy IE 2

• 2. Introducción del existencial

• Al introducir cuantificador existencial,

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