El Método De Montecarlo

INFORME: MÉTODO DE MONTECARLO

Introducción

Todo método de simulación pretende comprender el comportamiento de la realidad basándose en el estudio de un modelo simplificado que represente el comportamiento de la parcela objeto de estudio. El método Montecarlo es un método numérico que hace posible resolver problemas físicos y matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias. Desde el punto de vista práctico, este método justamente permite estudiar el comportamiento de las variables de salida del modelo dando valores a las variables de entrada, teniendo en cuenta sus distribuciones de probabilidad. Cuanto mayor sea el número de iteraciones, más estables serán los valores obtenidos. Mejor 10.000 iteraciones que 1.000, y aun mejor un millón. Por tanto, se precisa de un ordenador que realice los cálculos.

El método Montecarlo fue bautizado así por su clara analogía con los juegos de ruleta de los casinos, el más célebre de los cuales es el de Montecarlo, casino cuya construcción fue propuesta en 1856 por el príncipe Carlos III de Mónaco, siendo inaugurado en 1861.

La importancia actual del método Montecarlo se basa en la existencia de problemas que tienen difícil solución por métodos exclusivamente analíticos o numéricos, pero que dependen de factores aleatorios o se pueden asociar a un modelo probabilística artificial (resolución de integrales de muchas variables, minimización de funciones, etc.). Gracias al avance en diseño de los ordenadores, cálculos Montecarlo que en otro tiempo hubieran sido inconcebibles, hoy en día se presentan como asequibles para la resolución de ciertos problemas. En estos métodos, el error es ~ 1/√N, donde N es el número de pruebas y, por tanto, ganar una cifra decimal en la precisión implica aumentar N en 100 veces.

Desarrollo del tema

Breve Historia del Método

El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la segunda guerra mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE.UU.

En 1930 Enrico Fermi y Stanislaw Ulam desarrollaron las ideas básicas del método.

A principios de 1947 John von Neumann envió una carta a Richtmyer a Los Álamos en la que expuso de modo exhaustivo tal vez el primer informe por escrito del método de Monte Carlo.

Una de las primeras aplicaciones de este método a un problema determinista fue llevada a cabo en 1948 por Enrico Fermi, Ulam y von Neumann cuando consideraron los valores singulares de la ecuación de Schrödinger.

Definición del Método de Montecarlo

A continuación, se muestran alguna de las definiciones más sencillas y comunes que explican en qué consiste el método Montecarlo:

La simulación de Montecarlo es una técnica cuantitativa que hace uso de la estadística y los ordenadores para imitar, mediante modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio de sistemas reales no dinámicos (por lo general, cuando se trata de sistemas cuyo estado va cambiando con el paso del tiempo, se recurre bien a la simulación de eventos discretos o bien a la simulación de sistemas continuos).

El método de Montecarlo es un método no determinístico o estadístico numérico usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. Este método proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreo de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Montecarlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como en virtud del teorema del límite central.

El método Monte Carlo es una técnica de simulación para problemas que tienen una base estocástica o probabilística. Existen dos tipos diferentes de problemas que dan lugar al empleo de esta técnica; primero, aquellos problemas que implican algún tipo de proceso estocástico como la demanda del consumidor y la prioridad en la producción e inversión total para la expansión de plantas industriales; segundo, ciertos problemas matemáticos completamente determinísticos, que no pueden resolverse fácilmente (si es que admiten solución) por métodos estrictamente determinísticos, por ejemplo, evaluar integrales.

La simulación de Montecarlo es una técnica que combina conceptos estadísticos (muestreo aleatorio) con la capacidad que tienen los ordenadores para generar números pseudoaleatorios y automatizar cálculos.

Proceso para aplicar el método Montecarlo

Aplicaciones del método Montecarlo

Las siguientes son las aplicaciones prácticas más frecuentes y de mayor utilidad de este método de simulación:

Criptografía.

Cromo dinámica cuántica.

Densidad y flujo de tráfico.

Diseño de reactores nucleares.

Diseño de VLSI.

Ecología.

Econometría.

Evolución estelar.

Física de materiales.

Métodos cuantitativos de organización industrial.

Programas de computadora.

Pronóstico del índice de la bolsa.

Prospecciones en explotaciones petrolíferas.

Radioterapia contra el cáncer.

Sistemas de colas.

Sistemas de inventario P y Q.

Valoración de cartera de valores.

Algoritmos

El algoritmo de simulación Montecarlo crudo o puro está fundamentado en la generación de números aleatorios por el método de Transformación Inversa, el cual se basa en las distribuciones acumuladas de frecuencias:

Determinar la(s) variable(s) aleatoria(s) y sus distribuciones acumuladas (F).

Generar un número aleatorio uniforme Є (0,1).

Determinar el valor de la variable aleatoria para el

número aleatorio generado de acuerdo a las clases que tengamos.

Calcular media, desviación estándar, error y realizar el histograma.

Analizar resultados para distintos tamaños de muestra.

Otra opción para trabajar con Montecarlo, cuando la variable aleatoria no es directamente el resultado de la simulación o tenemos relaciones entre variables, es la siguiente:

Diseñar el modelo lógico de

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