Método y Simulación de Montecarlo

Método de Simulación de Montecarlo

El método Montecarlo es un método numérico que permite resolver problemas físicos y matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias. Se considera, desde un punto de vista didáctico, para resolver un problema del que conocemos tanto su solución analítica como numérica.

El método Montecarlo fue bautizado así por su clara analogía con los juegos de ruleta de los casinos, el más célebre de los cuales es el de Montecarlo, casino cuya construcción fue propuesta en 1856 por el príncipe Carlos III de Mónaco, siendo inaugurado en 1861.

La importancia actual del método Montecarlo se basa en la existencia de problemas que tienen difícil solución por métodos exclusivamente analíticos o numéricos, pero que dependen de factores aleatorios o se pueden asociar a un modelo probabilística artificial.

La base es la generación de números aleatorios de los que sirve para calcular probabilidades. Conseguir un buen generador de estos números así como un conjunto estadístico adecuado sobre el que trabajar son las primeras dificultades con las que se presentaran a la hora de utilizar este método.

Ejemplos sencillos son: el mecanismo básico de la difusión y el establecimiento del equilibrio térmico entre dos sistemas que se ponen en contacto a distinta temperatura. Estos dos ejemplos nos mostrarán el significado de proceso irreversible y fluctuación alrededor del estado de equilibrio.

La explicación de la ley exponencial decreciente en la desintegración de una sustancia radioactiva en otra estable. Comprender, a partir de un modelo simple de núcleo radioactivo, que su desintegración es un suceso aleatorio, con mayor o menor probabilidad dependiendo de la anchura de las barreras de potencial que mantienen confinadas a las partículas que componen el núcleo.

Otros ejemplos relevantes son: el estudio de un sistema con un número pequeño de estados como paso previo al estudio del comportamiento de un material paramagnético bajo la acción de un campo magnético y a una determinada temperatura, dos ejemplos de aplicación de la transformación de una variable discreta. Por último, estudiaremos el comportamiento de un material dieléctrico como ejemplo de aplicación de transformación de una variable aleatoria continua.

Aplicaciones

• Criptografía.
• Cromo dinámica cuántica.
• Densidad y flujo de tráfico.
• Diseño de reactores nucleares.
• Diseño de VLSI.
• Ecología.
• Econometría.
• Evolución estelar.
• Física de materiales.
• Métodos cuantitativos de organización industrial.
• Programas de computadora.
• Pronóstico del índice de la bolsa.
• Prospecciones en explotaciones petrolíferas.
• Radioterapia contra el cáncer.
• Sistemas de colas.
• Sistemas de inventario P y Q.
• Valoración de cartera de valores.

Transformación de Variables Aleatorias

Cuando un sistema o un proceso está regido en su comportamiento por el azar, entonces podemos aplicar técnicas de simulación basadas en el método de Montecarlo.

La idea básica del método es simular valores que toman las variables que forman parte del proceso en lugar de experimentar u observar la realidad.

Ejemplos de esas variables a simular:

• Demanda.
• Tiempo de respuesta, entre ocurrencias, de servicio...
• Cantidad de empleados ausentes.
• Presión de un neumático.
• Velocidad y dirección del aire.

Como hemos visto hasta ahora, existen dos tipos de variables aleatorias:

Variables Aleatorias Discretas: Demanda, Número de Empleados, etc.

Variables Aleatorias Continuas: Tiempos, etc.

Y existen estrategias de simulación diferentes según se simulen V.A.D. o V.A.C.

Se pueden aplicar dos procedimientos:

Procedimiento aditivo

Se parte de un número inicial de simulaciones (n), y se calcula la media y la desviación típica del modelo matemático utilizado. A continuación se procede a añadir un número de nuevas simulaciones equivalente al bloque inicial (n), de tal forma que ahora se calcula la media y la desviación típica del modelo matemático utilizando para ello un número de simulaciones que asciende a "2n". La nueva media y desviación típica así calculadas se comparan con las anteriores, repitiéndose el proceso hasta que la media y la desviación típica no diverjan en más de un 0,5 ó 1 por ciento. El inconveniente que presenta este método es que según se van añadiendo nuevos bloques de simulaciones, las simulaciones antiguas tienen mayor peso que las nuevas.

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