El concepto de la derivada y sus propiedades matemáticas

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN

MATEMÁTICAS II

QUÍMICA-2151, SEMESTRE 2024-II

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:

Explorar y comprender en profundidad el concepto de la derivada y sus propiedades matemáticas, así como su interpretación geométrica y su aplicación práctica en diferentes áreas de las Ciencias Químicas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1. Investigar y definir teóricamente el concepto de derivada y su importancia en el análisis matemático.
2. Realizar una construcción geométrica de la derivada y describir su interpretación geométrica.
3. Desarrollar y demostrar matemáticamente las propiedades aditiva, homogénea y de linealidad de la derivada.
4. Presentar y comparar una función diferencial utilizando las notaciones de Lagrange, Leibniz y Newton.
5. Identificar y analizar áreas específicas de las Ciencias Químicas donde se aplica el operador derivada, destacando las tres más relevantes.
6. Integrar y aplicar el conocimiento de las derivadas para resolver problemas prácticos en contextos químicos.

INTRODUCCIÓN

La derivada, una herramienta matemática de gran importancia, se erige como un pilar fundamental en diversas áreas del conocimiento, incluyendo las Ciencias Químicas. Su capacidad para capturar y entender cambios instantáneos es esencial en el análisis de sistemas dinámicos, como los encontrados en la química.

En el ámbito químico, la derivada permite abordar una amplia gama de fenómenos, desde la cinética de las reacciones hasta la termodinámica de los procesos. Por ejemplo, la velocidad a la cual una reacción avanza, la tasa de consumo de un reactivo o la velocidad de difusión de un compuesto en una solución son todos conceptos que pueden ser descritos y analizados utilizando derivadas.

Además, la derivada no solo proporciona una instantánea del cambio en un momento dado, sino que también permite prever y modelar el comportamiento futuro de sistemas químicos complejos. Esto es crucial en la investigación y el diseño de nuevos materiales, en la optimización de procesos industriales y en la comprensión de fenómenos naturales.

Por lo tanto, en el transcurso de esta licenciatura, exploraremos en detalle el papel de la derivada en el estudio y la aplicación de la química, destacando su importancia en la comprensión y el análisis de los procesos químicos en constante evolución.

MARCO TEÓRICO

DEFINICIÓN TEÓRICA DE LA DERIVADA:

La derivada de una función representa la velocidad con la que esa función cambia respecto a un cambio en su variable independiente. Matemáticamente, la derivada de una función 𝑓(𝑥), representada como 𝑓′(𝑥) ó , se define como el límite de la tasa de cambio promedio de la función en un intervalo dado cuando el tamaño de ese intervalo se acerca a cero.[pic 4]

Formalmente, la derivada de una función 𝑓(𝑥) en un punto 𝑥=𝑎 se define como:

𝑓′(𝑎)=​[pic 5]

Si este límite existe, entonces la función es diferenciable en el punto 𝑥=𝑎, lo que implica que tiene una derivada en ese punto.

Geométricamente, la derivada puede ser entendida como la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en un punto específico. Esta interpretación geométrica proporciona una comprensión intuitiva de cómo la derivada muestra la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.

Además, la derivada también puede indicar la dirección y el sentido del cambio de la función. Una derivada positiva indica un aumento en la función en ese punto, mientras que una derivada negativa señala una disminución. Una derivada igual a cero indica un punto crítico donde la función alcanza un máximo, mínimo o punto de inflexión.

En síntesis, la derivada es una herramienta esencial en el análisis matemático que nos ayuda a entender cómo las funciones cambian en relación con sus variables independientes, lo que la convierte en un instrumento valioso en diversos campos, incluyendo las Ciencias Químicas.

CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA

DERIVADA COMO LA PENDIENTE DE LA TANGENTE:

Para un punto dado (𝑎, 𝑓(𝑎)) en la curva de 𝑓(𝑥):

1. PENDIENTE DE LA TANGENTE:

La derivada de 𝑓 en 𝑥=𝑎, denotada como 𝑓′(𝑎), representa la pendiente de la línea tangente a la curva en el punto (𝑎, 𝑓(𝑎)).

1. CÁLCULO DE LA DERIVADA:

Matemáticamente, la derivada 𝑓′(𝑎) se define como el límite del cociente incremental:

𝑓′(𝑎)=[pic 6]

Este límite, si existe, nos da la pendiente de la tangente en el punto (𝑎, 𝑓(𝑎)).

1. VISUALIZACIÓN:

                                                                                                                     [pic 7]

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