Matematica - Derivadas

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“RAFAEL MARIA BARALT”

CABIMAS – ESTADO ZULIA

Integrante:

Belkys Perozo C.I. 14.085.142

Cabimas, Enero 2012

DESARROLLO

 DEFINICION DE DERIVADAS

La derivada es la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera. Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera.

 REGLA DE DERIVADAS

Derivada de una constante por una función

H) f es derivable en x=a

T) (kf(a))' = k.f'(a)

Demostración:

f'(a)

------^------

k.f(x) - k.f(a) (f(x) - f(a))

(k.f(a))' = lim ---------------- = lim k ------------- = k.f'(a)

x->a x - a x->a x - a

Nota: El teorema anterior da el valor de la derivada en el punto a. Como a es un punto genérico, lo sustituimos por x y tenemos la función derivada:

(kf)'(x) = k.f'(x), si f es derivable en x.

Derivada de la suma

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a

T) f+g es derivable en x=a

(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)

Demostración:

(f+g)(x) - (f+g)(a) f(x) + g(x) - f(a) - g(a)

(f+g)'(a) = lim --------------------------- = lim -------------------------------

x->a (x-a) x->a (x-a)

f(x) - f(a) g(x) - g(a)

= lim -------------- + --------------- = f'(a) + g'(a)

x->a (x-a) (x-a)

Nota: En general (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x), si f y g son derivables en x. El teorema se extiende a más de dos funciones.

Derivada del producto

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a

T) f.g es derivable en x=a

(f.g)'(a) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a)

Demostración:

(f.g)(x) - (f.g)(a) f(x).g(x) - f(a).g(a)

(f.g)'(a) = lim ------------------------ = lim ---------------------------

x->a (x-a) x->a (x-a)

f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x)

= lim ----------------------------------------------------- =

x->a (x-a)

f'(a) g'(a)

(*) g(a) -----^----- -----^-----

-^- (f(x) - f(a)) (g(x) - g(a))

lim g(x) ----------------- + f(a) ------------------ = f'(a).g(a) + g'(a).f(a)

x->a (x-a) (x-a)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a

=> (def. de continuidad) existe g(a) y limx->ag(x)=g(a).

Notas:

• (f.g)'(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x).

• Generalización para tres funciones:

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