El concepto de matriz

Resumen:

El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra.

Índice

Definición de matriz 2

Tipos especiales de matrices 3

Vector fila : 3

Vector columna: 3

Matrices cuadradas 4

Matriz cuadrada: 4

Matriz identidad: 4

Transpuesta de una matriz 5

Transpuesta: 5

Matriz nula. 6

IGUALDAD DE MATRICES 7

Igualdad de matrices. 7

OPERACIONES BASICAS DE LAS MATRICES 8

1.SUMA DE MATRICES 8

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 9

2. SUSTRACCION DE MATRICES 10

Diferencia de matrices 10

3.MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ 10

•Multiplicando un renglón por una columna 11

multiplicación de una matriz por un número 11

Multiplicación de una matriz por un escalar. 12

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE MATRICES 12

INVERSA DE UNA MATRIZ 13

Existencia de una matriz inversa. 13

PROPIEDADES DE UNA MATRIZ INVERSA 14

CALCULO DE UNA MATRIZ INVERSA 14

Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales 15

Resolviendo por el métodos de Gauss 15

Inversión de matrices 2×2 17

RANGO DE UNA MATRIZ 18

Calculo del rango de una matriz por el método de Gauss 18

BIBLIOGRAFIA 20

Definición de matriz

Siempre que se manejan datos, se debe interesar en organizarlos de manera tal que sean significativos y se puedan identificar con facilidad. Resumir los datos en forma tabular puede ayudar en esta función. Una matriz es una forma común para resumir y presentar números o datos.

Los arreglos rectangulares de números como el siguiente:

A= (■(5&0.5&3@8&1&0@9&6&2))

Reciben el nombre de matrices. Más formalmente, dado un conjunto X, se denomina matriz de n filas y m columnas a un conjunto de n×m elementos de X, dispuestos en un arreglo rectangular de n filas y m columnas. Las características de los elementos del conjunto X dependerán, en cada caso, de la naturaleza del problema que se esté estudiando. X puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de números, etc. De aquí en adelante, salvo que se especifique lo contrario, los elementos del conjunto X serán números reales y denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden n×m (n filas y m columnas) por M n × m

En general, para representar una matriz A de orden n×m se escribe

También se escribe A= ( aij ) (i =1,...,n y j =1,...,m) para indicar que A es la matriz de orden

n×m que tiene elementos aij .Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con la misma letra minúscula acompañada de dos subíndices que indican su posición en la matriz; el primer subíndice indica la fila y el segundo la columna. Es decir, el elemento aij es aquel que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz A. Por ejemplo, si denotamos por M la matriz inicial, entonces el orden de M es 2×3 (2 filas y 3 columnas) y sus elementos son: m11 = 8, m12 = −1, m13 = 0, m21 = 5, m22 = 0.5 m23 = 3.

Dos matrices A=(a ij ) y B=(b ij ), de orden n×m, son iguales si aij = bij para todo i =1,...,n y j =1,...,m. Es decir, dos matrices son iguales si los elementos que ocupan la misma posición en ambas matrices coinciden.

Tipos especiales de matrices

Vectores

Hay una clase especial de matrices que se denomina vector. Un vector es una matriz que

Sólo tiene una fila o una columna.

Vector fila :

Un vector fila (o vector renglón) es una matriz que sólo tiene una fila. Un vector fila R con n elementos rij tiene una dimensión (1 x n) y la forma general

R= (r11 r12 r13……… r1n)

Las tres calificaciones obtenidas por el estudiante 1 en la prueba se podrían guardar en el vector fila A (1 x 3) como

A= (75 82 86)

Vector columna:

Un vector columna es una matriz que sólo tiene una columna. Un vector columna C con m elementos cij tiene una dimensión m x 1 y la forma general

C11 C12

.

.

C1m

Matrices cuadradas

Matriz cuadrada:

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas. Si la dimensión de una matriz es (m x n), una matriz cuadrada es tal que m x n. Las siguientes matrices son cuadradas

Si una matriz A es cuadrada, a veces nos interesamos en un subconjunto de elementos aij

que cae a lo largo de la diagonal principal de la matriz. Estos elementos se localizan en

posiciones en que i =j, por ejemplo, a11, a22, a33, a44, . . . , ann. Los elementos en la diagonal

principal de la matriz B son b11= 1 y b22= 4. Los elementos en la diagonal principal

de la matriz C son c11 = 2, c22=4 y c33= 6.

Matriz identidad:

Una matriz identidad I, en ocasiones llamada matriz unidad, es una matriz cuadrada para la cual todos los elementos a lo largo de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los otros elementos son iguales a 0.

Si eij representa un elemento generalizado en una matriz identidad, entonces

Las matrices:

son matrices identidad (2 x 2) y (3 x3).

Aunque se verán distintas aplicaciones de la matriz identidad, una propiedad importante incluye la multiplicación de una matriz identidad por otra matriz. La multiplicación de matrices es una operación algebraica legítima en ciertas circunstancias. Dada una matriz A y una matriz identidad I, si el producto AI está definido, AI = A. De modo similar, si el producto de IA está definido, entonces IA = A. La matriz identidad I es para la multiplicación matricial,

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