El nacimiento y el uso de derivados en el ámbito de las matemáticas

Concepto de derivada

Derivada es un término que puede utilizarse como sustantivo o como adjetivo. En el primer caso, se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

El nacimiento y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen en la Antigua Grecia, podemos establecer que hacen aparición como tal gracias a dos figuras históricas muy importantes: el matemático inglés Isaac Newton y el lógico alemán Gottfried Leibniz. Y es que los mismos partieron de las teorías y conceptos establecidos por sus antecesores en el tiempo para poder llevar a cabo sus propias aplicaciones y métodos. Así, por ejemplo, Newton descubrió algoritmos, procedió a acometer la reestructuración de lo que son las bases de cálculos y creó su propio método para realizar el cálculo de las tangentes.

Lee todo en: Definición de derivada - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/derivada/#ixzz2f7Fcl8Tq

Reglas de derivación

Si f (x) y g (x) son derivables en el punto Xo , se cumple:

1- La derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función

2- La derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas cada una de las funciones.

3- La derivada de un producto de dos funciones es igual a la suma del producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar

4- La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado.

Derivada de una función en un punto

Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

f '(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.

Significado de la derivada

Puesto que

la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0, f(x0 )).

Ejemplos:

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.

Resolución:

Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x0 = 1).

Por tanto, f '(1) = 3.

Calcular la derivada de la función

f(x) = en el punto 2.

Resolución:

(conjugado del numerador)

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas2.htm

Sea y = f(x) un función. La derivada de f(x) en el punto x=a, según hemos visto, es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P(a,f(a)) y se designa como f ' (a).

Hemos visto que la tangente es el límite de las secantes QP cuando Q tiende a P:

Además, las pendientes de las secantes, para cada valor de h se obtienen:

Por lo tanto, podemos definir

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