Ensayo sobre Teorema de la probabilidad

 Teorema de probabilidad total

Supongamos que los eventos A1, A2, . . ., An. Forman una partición del espacio muestral S y sea B otro evento que tenga intersección con los eventos Ai.

Sabemos que S = A1 È A2 È . . . An. De acuerdo a la ley de identidad vista en álgebra de conjuntos, podemos escribir que:

B = S Ç B = (A1 È A2 È . . . È An) Ç B = (A1 Ç B) È (A2 Ç B) È . . . È(An Ç B)

donde (Ai È B) son eventos mutuamente excluyentes. En consecuencia:

P(B) = P(A1 Ç B) + P(A2 Ç B) + . . . + P(An Ç B)

Aplicando la Regla de Multiplicación en cada uno de los sumandos obtenemos la siguiente ecuación:

P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An)

La cual podemos escribir como:

[pic 2]

Que es conocida como Teorema de Probabilidad Total.

Ejemplo  Una fábrica produce 2 tipos  de reguladores: del tipo A y del tipo B. El 75% de la producción es del tipo A y el 25% del tipo B. Se sabe que el 95% de los reguladores del tipo A funcionan bien y el 98% de los del tipo B también funcionan bien. Si se selecciona un regulador al azar de la producción  de la fábrica ¿Cuál es la probabilidad de que funcione bien?.

Solución

Definamos el evento F como el regulador funcione bien. Los datos que tenemos son:

P(A) = 0.75,    P(F | A) = 0.95

P(B) = 0.25,    P(F | B) = 0.98.

Aplicando el Teorema de Probabilidad Total tenemos que:

P(F) = P(A) P(F | A) + P(B) P(F | B) = (0.75)(0.95) + (0.25)(0.98) = 0.9575

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