Espacios interiores de productos. Espacios Hilbert

186        Espacios interiores de productos. Espacios Hilbert

—P, y suma las dos ecuaciones. Integrando la ecuación resultante

de -1 a 1, demuestre que (P,) es una secuencia ortogonal en el espacio Lz [_1 1].

1. Derivar (2c) de (2b).
2. (Función generadora) Muestra esa

1 2+                n = 0[pic 1][pic 2][pic 3]

La función de la izquierda se denomina unión generadora de los polinomios de Legendre. Las funciones generadoras son útiles en conexión con varias funciones especiales; cf. R. Courant y D. Hilbert (1953-62), A. Erdélyi et al. (1953-55).

1. Muestra esa

1 1                        1

[pic 4]

F[pic 5]

P (cos 8)[pic 6][pic 7][pic 8]

r        2 n = O        F2

donde r es la distancia entre los puntos dados A, y en R ', como se muestra en la figura 38, yr> 0. (Esta fórmula es útil en teoría potencial).

[pic 9]

1. Obtenga los polinomios de Legendre por el método de la serie de potencia como

sigue. Sustituir x (t) = c, + c, t + cvt 2 + - -

en la ecuación de Legendre

y demuestre que al determinar los ooeficientes se obtiene la solución x = clx, + c, 2. donde

x, (I) = 1 - n + 1 [pic 10][pic 11]

2!

1. 7 7        Legendre, termitas y polinomios de Lagtierre

y

(n - 1) (n + 2) , + (n - 3) (n - 1) (n + 2) (n + 4), _ +

[pic 12] 5!

J87

Muestre que para ri N, una de estas dos funciones se reduce a un polinomio, que concuerda con P si se elige c, = (2n)! / 2 '(n!) 2 como el coeficiente de I ".

1. (Función generadora) Muestra esa

exp (2 wt - w 2 ) =[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

La función de la izquierda se denomina generación / función de los polinomios de Hermite.

1. Usando (7b), demuestre que

H, () = 2H () - H, ()

1. Diferenciando la función generadora en Prob. 6 con respecto a i, demuestre que

H, '(t) = 2nH, , (t)        (n / A 1)

y, usando Prob. 7, muestran que H cumple la ecuación diferencial de Hermite.

1. Resuelva la ecuación diferencial y “+ (2n + 1 - t ') y = 0 en términos de polinomios de Hermit.

l0. Usando Prob. 8, muestra que

(e * "H ')' = —2 ne *" H ,.

Usando esto y el método explicado en el problema. 1, muestra que las funciones definidas por (7a) son ortogonales en R.

1. (Función generadora) Usando (10c), demuestre que

 1         tw [pic 18]

1 - w exp - 1 _q[pic 19][pic 20][pic 21]

n = O

1. Diferenciando d en el problema. 11 con respecto a w, demuestre que

(una)        [pic 22]

Diferenciando 9 con respecto a t, demuestre que

(si)        [pic 23]

1. Usando Prob. 12, muestra que

(C)        [pic 24]

Usando esto y (b) en Prob. 12, muestran que L, satisface la ecuación diferencial de Laguerre (11).

1. Muestre que las funciones en (10a) tienen la norma 1.

1. Muestre que las funciones en (10a) constituyen una secuencia ortogonal en el espacio L 2 [0, +).

1. Representación de funciones en espacios de Hilbert

Es de importancia práctica conocer la forma general de los funcionales lineales acotados en varios espacios. Esto fue señalado y explicado en la Sec. 2.10. Para espacios generales de Banach, tales fórmulas y su derivación a veces pueden ser complicadas. Sin embargo, para un espacio de Hilbert la situación es sorprendentemente simple:

3.8-1 Teorema de Riesz (Funcionales en Hilbert espacios). Cadalineal funcional limitada f en un espacio de Hilbert H puede representarse en términos del producto iisiser, a saber,

donde z depende de f, está determinado únicamente por f y tiene norma

(2)        [pic 25]

Prueba. Probamos que

1. / tiene una representación (1),
2. z en (1) es único,
3. fórmula (2) se mantiene. Los detalles son los siguientes.

1. Si / = 0, entonces (1) y (2) se mantienen si tomamos z = 0. Sea

/ N 0. Para motivar la idea de la demostración, preguntémonos qué propiedades debe tener z si existe una representación (1). En primer lugar, z f- 0 ya que de lo contrario / = 0. Segundo, (x, z) = 0 para todo x para el cual / (x) = 0, es decir, para todo x en el espacio nulo N (/) de /. Por lo tanto, z _L N (/). Esto sugiere que consideremos N (/) y su complemento ortogonal N (/) ".

N (/) es un espacio vectorial de 2.6-9 y está cerrado por 2.7-10. Además, / 4 0 implica N (/) f- H, de modo que N (/) “{0} según el teorema de proyección 3.3-4. Por lo tanto, N (/) "contiene az N 0. Establecimos

[pic 26]

donde xe H es arbitrario. Aplicando /, obtenemos

f •) —— l (•) f • ) - / • o) / (x) = 0. Esto muestra que ue N (/). Como z _L N (/), tenemos

0 = (u, z) = (/ (z) z - / (z        ) z, z)

= / (z) (z, z) - / (z        ) (z, z).

Observando que (z, z) = || z || 2 N 0, podemos resolver para / (x). El resultado es

...