Evolucion de la geometria descriptiva

1. EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Desde la antigüedad, como lo demuestran dibujos encontrados en cuevas prehistóricas, el hombre ha sentido siempre necesidad de representar gráficamente su entorno, pero no es sino hasta el Renacimiento cuando se intenta ilustrar la profundidad.

Los nuevos imperativos de representación del arte y de la técnica impulsan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos métodos que les permitan proyectar fielmente la realidad. Aquí se enmarcan figuras como Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Leone Battista Alberti, Piero della Francesca y muchos más.

Al descubrir la perspectiva y la sección, todos ellos crean la necesidad de implantar las bases formales en las que se asiente la nueva modalidad de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Gérard Desargues en el siglo XVII. A esta nueva geometría también la estudiaron Blaise Pascal yPhilippe de la Hire, pero debido al gran interés suscitado por la Geometría cartesiana (Geometría analítica) y sus métodos, no alcanzó tanta difusión.

El posterior desarrollo de la técnica requirió aplicar las teorías matemáticas a la práctica, proceso que culminó en 1795 con la publicación de la obra de Gaspard Monge«Geometría descriptiva».

1.1. GASPARD MONGE

Nació en Beaune hijo de un vendedor ambulante. Estudió en las escuelas de Beaune y Lyon y en la escuela militar de Mézières. A los 16 años fue nombrado profesor de física en Lyon, cargo que ejerció hasta 1765. Tres años más tarde fue profesor de matemáticas y en 1771 profesor de física en Mézières. Entró en la Academia Real de Ciencias en 1780 y publicó ocho años más tarde su Traité de statistique. Nombrado Ministro de Marina (Agosto de 1792 - Abril de 1793) por la Convención, se le pidió reorganizar los arsenales y a interesarse por las fábricas de cañones. Contribuyó a fundar la École Polytechnique en 1794, en la que dio clases de geometría descriptiva durante más de diez años. Entró en el instituto de Francia (1795). Durante la campaña de Italia conoce a Napoleón, mientras busca obras de arte, quien le encarga junto con Claude Louis Berthollet, que lleve al Directorio la ratificación del Tratado de Campo Formio.

Por orden de Napoleón se apropia de tres imprentas en el Vaticano que les ayudarán en su nueva expedición. Es invitado a participar en la expedición a Egipto, pero alega que ya esta muy avanzado de edad para participar en esta empresa. Sin embargo, Napoleón lo logra persuadir y cambia de opinión. Se convierte en uno de los confidentes del joven general en Egipto y se convirtió en el primer presidente del Instituto de Egipto, fundado en agosto de 1789. Además, preparó un trabajo sobre los espejismosdurante su estadía en el oriente.

Regresó a Francia con Napoleón el 23 de agosto de 1799, año en que publica su famosa obra Geometrie descriptive. Es nombrado miembro del Senado, director de la Escuela Politécnica (1802) y conde de Pelusio. La caída de Napoleón hace que le excluyan del Instituto y de la escuela Politécnica. Murió en París el 28 de julio de 1818 y fue enterrado en el cementerio del Père-Lachaise. En 1989, sus cenizas fueron trasladadas al Panteón de París.

2. DEFINICIÓN DE LA GEOMETÍA DESCRIPTIVA

La geometría descriptiva es un conjunto de técnicas geométricas que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional. Por tanto, mediante «lectura» adecuada posibilita resolver problemas espaciales en dos dimensiones de modo que se garantiza la reversibilidad del proceso.

En la época actual se reconocen dos modelos, en los cuales se les considera:

1) «lenguaje» de representación y de sus aplicaciones.

2) tratado de geometría. Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo ha estado relacionado con el de la Geometría proyectiva.

Cuatro representaciones bidimensionales (2D) del mismo objeto tridimensional (3D).

3. FORMAS DE PROYECCIONES

Proyección cartográfica.

La proyección cartográfica o proyección geográfica es un sistema de representación gráfico que establece una relación ordenada entre los puntos de la superficie curva de la Tierra y los de una superficie plana (mapa). Estos puntos se localizan auxiliándose en una red de meridianos y paralelos, en forma de malla. La única forma de evitar las distorsiones de esta proyección sería usando un mapa esférico pero, en la mayoría de los casos, sería demasiado grande para que resultase útil.

En un sistema de coordenadas proyectadas, los puntos se identifican por las coordenadas cartesianas (x e y) en una malla cuyo origen depende de los casos. Este tipo de coordenadas se obtienen matemáticamente a partir de lascoordenadas geográficas (longitud y latitud), que son no proyectadas.

Las representaciones planas de la esfera terrestre se llaman mapas, y los encargados de elaborarlos o especialistas encartografía se denominan cartógrafos.

Proyección ortogonal.

En geometría euclidiana, Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.

En el plano, la proyección ortogonal es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son perpendiculares a la recta de proyección L.

Así, dado un segmento AB, bastará proyectar los puntos "extremos" del segmento –mediante líneas proyectantes auxiliares perpendiculares a L–, para determinar la proyección sobre la recta L.

Una aplicación de proyecciones ortogonales son los teoremas de las relaciones métricas en el triángulo mediante las cuales se puede calcular la dimensión de los lados de un triángulo.

El concepto de proyección ortogonal se generaliza a espacios euclidianos de dimensión arbitraria, inclusive de dimensióninfinita. Esta generalización juega un papel importante en muchas ramas de matemática y física.

Proyección sinusoidal.

La proyección sinusoidal es una proyección cartográfica pseudocilíndrica de áreas equivalentes, también llamada proyección de Sanson-Flamsteed o Mercator de áreas iguales. Jean Cossin de Dieppe fue uno de los primeros cartógrafos en usar la proyección, apareciendo en un mapa del mundo de 1570. Viene definida por la ecuación:

donde es la latitud, la longitud, y es

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