FISICA GENERAL

1: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

1.1 INTRODUCCIÓN

El movimiento armónico simple (M.A.S.) es un modelo ideal de movimiento oscilatorio en el que se consideran despreciables todo tipo de fuerzas disipativas (fricción, viscosidad, resistencia del aire, etc.) de modo que las partículas oscilan periódicamente mediante una fuerza resultante recuperadora. Este movimiento se describe haciendo uso de funciones armónicas (senos y/o cosenos). Existen diferentes sistemas cuyo movimiento se puede describir como un movimiento armónico simple, pero los sistemas que trataremos en ésta sesión son el oscilador armónico, el péndulo simple, el péndulo físico y el péndulo de torsión.

1.2 EL OSCILADOR ARMÓNICO

Una partícula fija al extremo de un resorte, ver Fig. 1.1, puesta a oscilar libremente y sin fricción, a lo largo del eje del resorte, constituye un oscilador armónico.

Para estudiar éste movimiento, hacemos coincidir la posición de equilibrio de la partícula con el origen del eje X, de modo que, en la posición de equilibrio el resorte no está deformado.

Aplicando la 2° Ley de Newton al oscilador.

ma = Fres = - Kx

ma + Kx = 0

Haciendo:

La solución de ésta ecuación es de la forma:

x = A Sen (o t + o) (1.1)

Luego,

v = dx/dt

v = o A Cos (o t + o) = ± (1.2)

Derivando una vez más:

a = dv/dt = -o2 A Sen (o t + o) = - o2 x (1.3)

Dónde:

A, se conoce como la amplitud del movimiento y se expresa en m o cm.

o , se le denomina frecuencia angular del oscilador y se expresa en rad/s, y

o , es la fase inicial del movimiento, es decir, el valor de la fase, (o t + o), cuando t = 0. Así, el valor de la fase inicial sirve para indicar la posición inicial del oscilador, haciendo t = 0 en la ec. de movimiento (x Vs t)..

Los mismos resultados se obtienen partiendo de una solución de la forma:

x = A Cos (o t + o) (1.4)

v = dx/dt

v = - o A Sen (o t + o) = ± (1.5)

a = dv/dt = - o2 A Cos ( t + o) = -o2 x (1.6)

Note qué, la diferencia entre las soluciones simplemente radica en el valor de la fase inicial (el seno y el coseno están desfasados entre si un ángulo de /2).

Si realizamos el D.C.L. del oscilador, ver Fig. 1.2, observamos qué, el peso y la normal se equilibran mutuamente y la única fuerza responsable del movimiento es la fuerza elástica, Fe = - Kx, luego, según la 2° Ley de Newton:

- K x = m a (1.7)

Si usamos la ec. (1.3) o (1.6) en la ec. (1.7):

- K x = - m o2 x, de donde:

(1.8)

La relación entre la frecuencia angular, o, el periodo, P, y la frecuencia natural, f, es análoga a la que se tiene en el M.C.U. , esto es,

(1.9)

En general, cualquiera que sea el sistema, si éste ejecuta un MAS, la fuerza responsable del movimiento es de la forma F = - C x, donde “C” es una constante de proporcionalidad que depende del sistema oscilante. La aceleración asociada a ésta fuerza es de la forma a = - o2 x.

1.3 EL PÉNDULO SIMPLE

El péndulo simple se define como una partícula de masa “m” suspendida por una cuerda de longitud “L” y de masa despreciable, ver Fig. 1.3.

Si no se considera la resistencia del aire y las amplitudes angulares de oscilación,o, son pequeñas, la partícula ejecuta un M.A.S.

Cuando “m” se separa de la posición de equilibrio y se suelta describe un movimiento oscilatorio, que se debe a la componente tangencial del peso, FT.

En la fig. 1.4 se muestra las componentes en las direcciones tangencial y radial de las fuerzas que actúan sobre la masa pendular “m”.

FT = - m g Sen (1.10)

Fc = T– m g Cos (1.11)

Note qué, es la fuerza tangencial (1.10), la responsable del M.A.S. y el signo negativo se debe a que la fuerza se opone al desplazamiento angular, .

Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección tangencial se obtiene:

Si  es muy pequeño, entonces Sen   y se tiene:

La solución de ésta ecuación corresponde a la de un M.A.S. y es de la forma:

L La frecuencia angular y el periodo se obtienen de las siguientes expresiones:

La frencia angular y el periodo se

Como se mencionó antes, también podemos hacer uso de la función coseno, así:

 = o Cos (o t + o) (1.14)

Estas ecuaciones proporcionan la posición angular de la partícula en cualquier instante, t.

1.4 EL PÉNDULO FÍSICO

Un péndulo físico o compuesto es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal, que no pasa por su centro de masa. En consecuencia, la posición de este cuerpo está determinada, en cualquier instante de tiempo, por el ángulo θ que dicho cuerpo forma con la vertical, tal como se indica en la figura 1.5.

Cuando este cuerpo está desviado de su posición de equilibrio, actúa sobre él un torque resultante que tiende a restaurar su

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