Fisica general

Problemas de mecánica cuántica  Lista 1

Escuela de Física  UNSA 2012

1. En tiempo T=0 una particula es representada po la función de onda
2. Una partícula en un pozo cuadrado infinito tiene la función de onda inicial con un  combinación de los dos primeros estados excitados: , (a) normalice  , (b) Encontrar , (c) encuentre . Cual es la frecuencia angular de oscilación? Cual es la amplitud de oscilación?. (e) Si mides la energía, que valor puedes conseguir y cual es la probabilidad de conseguir dicho valor?, (f) encontrar el valor de  esperado de H? (25 gri)[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
3. Una partícula en un pozo cuadrado infinito tiene la función de onda inicial 0≤x≤a. fuera del pozo Ψ = 0. Encontrar  Ψ(x,t)[pic 5]
4. Una partícula en un pozo cuadrado infinito tiene la función de onda inicial  a) determinar la constante A, b) encontrar  Ψ(x,t), c) ¿Cuál es la probabilidad que una medida de la energía nos del el valor E1?, d) Encontrar el valor de expectación de la energía. (27 grf)[pic 6]
5. Calcule 〈x〉, 〈x2〉, 〈p〉, 〈p2〉, σx y σp, para en n-esimo estado estacionario de un pozo cuadrado infinito. Verifique que el principio de incertidumbre es satisfecho. (24 grf)
6. Una partícula, en t = 0, es representada por la función de onda: ψ(x,0) =A(a2 –x2)   si -a≤x≤+a   y ψ(x,0) = 0 en otros lugares.  a) determine la constante de normalización, b)¿Cual es el valor de expectación  de x, en t =0? c) ¿Cual es el valor de expectación  de p, en t =0? D) ¿Cuál es el valor de expectación de de X2 y de p2? E) encontrar la incertidumbre en x y en p. (117grif)
7. Sea 〈ψ│ el correspondiente bra del ket │ψ〉. Designamos por c el resultado de la acción del operador A sobre │ψ〉, tal que │ψ´〉 = A│ψ〉. sea 〈ψ`│ el bra correspondiente a │ψ´〉, pruebe que  〈ψ`│=│ψ〉A+ (410shau)
8. Mostrar que si 〈φ│Qφ〉 = 〈Qφ│φ〉 para toda función φ ( en el espacio de Hilbert), entonces  〈f│Qg〉 = 〈Qf│g〉 para todo f y g . ( grff 3.3)
9. (a) mostrar que la suma de dos  operadores hermitianos es hermitiano, (b) suponga que Q es un operador hermitiano, y α es un  numero complejo. Bajo que  condición es αQ hermitiano?, (c) ¿Cuándo el producto de dos  operadores hermitianos es hermitiano?, (d) Mostrar que el operador posición X y el operador Hamiltoniano H, son hermitianos. (Griff 3.4)
10. El adjunto del operador Q es el operador Q+  , tal que :  〈f│Qg〉 = 〈Q+f│g〉 ( un operador hermitiano, es igual a su conjugado hermitiano Q =Q+), (a) encontrar el conjugado hermitiano de X y d/dx, (b) mostrar que (QR)+ = R+Q+. (Griff 3.5)
11. Suponga que f(x) y g(x) son dos auto-funciones de un operador Q, con  algún autovalor q. Mostrar que alguna combinación lineal de f y g es una eigenfuncion de Q, con autovalor q. ( griff 3.7)
12. Una particula de masa esta en un pozo de potencial delta V(x) =-αδ(x). ¿Cuál es la probabilidad que una medida de su momentum daría un valor mas grande que  po = mα/ћ ( grif ejem 3.4)
13. Encontrar la función de oda en el espacio de momentum φ(p,t), para una particula en el estado base de un oscilador armonico. Cual es la probabilidad que una medida de p sobre una particula en ese estado base podría producir una valos fuera del rango clásico. (griff 3.11)
14. (a) Pruebe las siguientes identidades de conmutadores:  [AB, C] = A [B, C] +[A, C]B, (b) mostrar que [xn, p] = iћnxn-1. (c) mostrar que : [f(x), p] = i ћ(df/dx) (girff 3.13)
15. Mostrar que dos operadores que no conmutan, no pueden tener un conjunto completo  de autofunciones comunes. (griff 3.15)
16. UNA PARTICULA ES DESCRITA POR LA FUNCION DE ONDA: , Calculara Δx yΔp y verificar la relación de incertidumbre (4.24 saum)[pic 7]
17. Considere una particula libre en una dimensio cuya función de onda en t = 0 es dada por  donde N es constante de normalizacion y ko es un numero real.  En una medida del momento en el tiempo t , encontrar la probabilidad P(p,t)  de conseguir un resultado entre –p1 y p1. (438 sahu)[pic 8]
18. Una partícula de masa m está confinada en una región unidimensional entre 0≤x≤a. en t = 0 su función de onda normalizada es  :.  (a) determine  la función de onda para un t = to, (b) Determine la energía media del sistema en t = 0 y en t = to. (c)Cual es la probabilidad que la partícula sea encontrada en la región 0≤x≤a/2 en t = to.           ( considere     n =1,2,3….)( Lui 1011)[pic 9][pic 10][pic 11]
19.  (a) Suponga  que  es hermitiana, y α es un numero complejo. ¿Bajo que condiciones  α es hermitiano? (b)  Cuando el producto de dos operadores hermitianos es hermitiano?  (c)  Mostrar que el operador posición x y el operador hamiltoniano H son hermintianos.[pic 12][pic 13]

1. Suponga un sistema en el cual hay dos estados linealmente independientes.

[pic 14]      [pic 15]

El estado mas general es  una combinación lineal  :

 [pic 16]

El hamiltoniano puede ser expresado como una matriz hermitiana :

 [pic 17]

Donde h y g son costantes reales, si el sistema inicial en t =0 en el estado 1> cual es el estado en un tiempo t?  (Ejm 3.8 griffin)

1. Muestre que  wl operador proyección P2 = p. detremine los autovalores de P y caracterice sus autovectrores. (griff 3.21)
2. Suponga que φ(x) y ϕ(x) son dos autofunciones del operador Q con el mismo autovalor q. Mostrar que alguna combinación lineal de φ(x) y ϕ(x) es también  autofuncion de Q con autovalor q.
3. Considere la matriz hermitiana Encontrar los autovalores y autovectores.[pic 18]
4. Considere un sistema tridimensional espandido en unas base ortonormal [pic 19] Los ket [pic 20] son dados por [pic 21], [pic 22] . (a) costruya [pic 23] en la misma base , (b) encuentre y  y confirmar que   (c) encontrar los elementos de matris del operador A =[pic 27]en esa base  y construir la matriz hermitiana A.( griff  322 )[pic 24][pic 25][pic 26]

1. Un operador A  representado un observable A, tiene dos  autoestados normalizados Ψ1 y Ψ2  con autovalores a1 y a2, respectivamente. Un operador B tiene dos autoestados normalizados  φ1 y ϕ2 con autovalores b1 y b2 . los autoestados son relacionados por :

[pic 28]                   [pic 29]

 (a)  El observable A es medido y el autovalor a1 es obtenido. Cual es el estado  del sistema después de esta medida?. (b) si B es medido, cual son los posibles resultados y cuales son sus probabilidades? (c)  después de la medida de B, A es medido nuevamente, cual es la probabilidad de conseguir a1?

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