FORMULARIO

• La fórmula del producto de un vector por el vector 0 para el producto punto.

U∙0=0, siendo cero un escalar.

Sean: u = (a1, b1) y v = (a2, b2), entonces u*v = (a1) (a2) + (b1) (b2)

• La fórmula del producto de un vector por el vector 0 para el producto cruz.

U∙0=0, siendo cero el vector cero

Sean: u = a1i + b1j + c1k v = a2i + b2j + c2k, entonces:

u*v= (b1*c2) – (b2*c1)?i + (a2*c1) – (a1*c2)?j + (a1*b2) – (a2*c2)?k

• La ley conmutativa del producto escalar.

Conmutativa: u • v = v • u.

• La ley distributiva del producto escalar.

Distributiva: w(u + v) = (w • u) + (w • v).

• La ley distributiva del producto cruz.

u x (v + w) =(u x v)+(u x w)

• Muestra la fórmula de la propiedad anti conmutativa del producto vectorial.

• Presenta la fórmula del triple producto escalar de tres vectores.

(u x v) x w

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Generalidades

u x 0 = 0 x u = 0

u x v = -(v x u)

(α u) x v = α(u x v)

u x (v + w) =(u x v)+(u x w)

u∙(u x v) = v∙(u x v) = 0

u x v =0 con u y v distintos de cero, únicamente cuando u y v son paralelos.

El producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermética y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una aplicación donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que está definido V. debe satisfacer las siguientes condiciones:

1. Linealidad por la izquierda y por la derecha: , y análogamente

2. Hermeticidad: ,

3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,

Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real

A • B = |A| |B| cos(θ).

|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman.

Proyección de un vector sobre otro

Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A cos θ = proy AB, será

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ángulos entre dos vectores

La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores:

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales, ya que el valor del coseno de 90º es cero.

Vectores paralelos o en una misma dirección

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados.

Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

Observación

Una importante variante del producto escalar estándar se utiliza en el espacio-tiempo de Minkowsky, es decir, dotado del producto escalar:

.

Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:

Expresión analítica del producto escalar

Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

Norma o Módulo de un vector

Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.

Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.

Tensores métricos

Se pueden definir y manejar espacio no-euclídeo o más exactamente variedades de Riemann, es decir, espacios no-planos con un tensor de curvatura diferente de cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. En estos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual introduciendo un tensor métrico , tal que la restricción del tensor a un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal .

Así, dados dos vectores campos vectoriales y del espacio tangente a la variedad de Riemann se define su producto interno o escalar como:

La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a partir de su vector tangente de la siguiente manera:

Los vectores son una herramienta muy útil para representar en cálculos y en la computadora como es nuestra realidad. En este post pongo un breve formulario de algebra vectorial para consulta.

El producto escalar de dos vectores es por definición un escalar.

Propiedades:

CONMUTATIVA a.b=b.a

DISTRIBUTIVA p(q+r)= pq+pr

propiedades del producto cruz:

CONMUTATIVA U x V = V x U

DISTRIBUTIVA c ( U x V ) = c U x V = U x c V

NEUTRO MULTIPLICATIVO U x U = 0

ASOCIATIVA U x ( V + W ) = ( U x V ) + ( U x W )

U x 0 = 0 x U

U ( V x W ) = ( U x V ) W

U x V son paralelos si U x V = 0.

Cuando es el vector nulo, o K=0, el resultado es el vector nulo: 0.u=k.0=0

Si u y v son vectores no nulos, se tiene que u es perpendicular a v si y solo si su producto escalar es cero.

Conmutativa: u.v=v.u

Asociativa: (K • u) • v = K • (u • v)

Distributiva del producto escalar respecto de la suma: u • (v + w) = u • v + u • w

Los triples productos aparecen cuando se desea definir multiplicaciones entre tres vectores. Una expresión de la forma u.u.w no tiene mucho sentido porque el resultado de el primer producto es un escalar y no es posible calcular el producto punto entre un número (escalar) y un vector.

Propiedades del producto cruz:

ux0=0xu

uxv=-(vxu) anti conmutativa

u(v+w)=(uxv)+(uxv) distributiva

Producto de un vector por el vector cero: ux0=0xu=0

Propiedad del triple producto: (uxv)w=u(vxw) se obtiene de un producto cruz entre dos vectores, seguido de un producto escalar.

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