FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES DE VARIABLES ALEATORIAS

12. FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES DE VARIABLES ALEATORIAS

LA VARIABLE ALEATORIA

Uno de los problemas que enfrenta el estadístico es el de evaluar funciones de distribución o densidad de probabilidad de alguna variable aleatoria y=u(x1,x2,…,xn), lo que requiere técnicas especiales mediante las cuales se puedan transformar éstas de forma que los resultados sean objetivos. Se aplicarán varios métodos, pero recomendamos al lector estar atento al método de la función de generación de momentos, el cual no siendo aplicado correctamente conduce a errores importantes, cuando no hay completa linealidad en el modelo o función escogida

Variable Aleatoria. Repasando, es una variable numérica cuyo valor no puede predecirse con certeza antes de la ocurrencia del experimento. Y su comportamiento se describe mediante una ley de Probabilidad. Sea el experimento y S el espacio muestral asociado. Una función X que asigna a cada uno de los elementos un número real X(s), se llama Variable Aleatoria

Sea un experimento y S su espacio muestral asociado. Sea X una variable aleatoria definida en S, y Rx su recorrido. Sean B un suceso respecto a Rx, esto es, . Sea A definida como . Entonces, A y B son sucesos equivalentes.

X es una variable aleatoria del espacio S, Rx es el recorrido de X. Sea H una función real, la variable aleatoria Y=H(X) con recorrido Ry. Para cualquier suceso se define . Por tanto, la probabilidad de un suceso asociado con el recorrido de Y es la probabilidad del suceso equivalente (en función de X)

Variable Aleatoria Discreta. Si el número de valores posibles de X es finito, esto es, se pueden anotar los valores de X como,

Sea X una variable aleatoria discreta, entonces Rx consta de un número de valores de como resultado posible de xi asociamos un número p(xi) = P(X=xi) llamado probabilidad de xi, y se satisface,

donde, p es la probabilidad de la variable aleatoria X. La colección de pares es, algunas veces, la distribución de probabilidad de X

Dadas las variables aleatorias X y Y y ocurre:

- Caso 1: Si X es una variable aleatoria discreta, Y=H(x), entonces, Y es variable aleatoria discreta

- Caso 2: Si X es variable aleatoria continua, Y es variable aleatoria discreta, la función de distribución de probabilidades de Y se determina el suceso equivalente que corresponde a los valores de Y. Si se conoce la función de distribución de probabilidad de X. En general, si {Y=yi} es equivalente a un suceso, sea x el recorrido de X, entonces,

Variable Aleatoria Continua. La variable aleatoria continua es X, si existe una función f o una función de densidad de probabilidad de X que satisface

Ahora bien, para cualquier a y b, tal que, , tenemos

Funciones de variables Aleatorias. Sean B y C sucesos equivalente. Si B es el conjunto de valores de X tales que , entonces,

Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución de probabilidad f y H una función continua, entonces, Y=(H(x)) es variable aleatoria continua con función de distribución de probabilidad g, con los siguientes pasos:

derivar G(y) respecto a y y obtener g(y),

hallar los valores de y en le recorrido de Y para g(y)>0

Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución de probabilidad f, f(x)>0 para a<x<b. Sea y=H(x) monótona estrictamente y sea derivable para todo x, luego la variable aleatoria Y=H(X) tiene la función de distribución de probabilidad:

X es variable aleatoria del espacio S, Rx es el recorrido de X, H es una función real, la variable aleatoria Y=H(X) con recorrido en Ry. Para cualquier suceso

Por tanto, la probabilidad de un suceso asociado con el recorrido de Y es la probabilidad del suceso equivalente (en función de X)

Variables Aleatorias Bidimensionales. Sea un experimento con espacio muestral asociado S, X1=X1(s), ..., Xn=Xn(s)

X=X(s) y Y=(Ys) son dos funciones que asignan un número real a cada uno de los resultados , entonces, (X,Y) es la variable aleatoria bidimensional

- En el caso discreto, (X,Y) tiene valores posibles finitos o infinitamente numerables

- En el caso continuo, (X,Y) puede tener todos los valores en un conjunto no numerable del plano Euclidiano

Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional con cada resultado posible (xi,yj) asociamos un número p(xi,yj) que representa P(X=xi,Y=yj) que satisface

La función p definida para todo (xi,yj) en el recorrido de (X,Y) es la función de probabilidad de (X,Y) y la terna (xi,yj,p(xi,yj)) es la distribución de probabilidad de (X,Y)

Sea (X,Y) una variable aleatoria continua que toma todos los valores de la región R del plano Euclideo, la función de distribución de probabilidad conjunta f es la función que satisface,

La función de distribución acumulada de F de la variable aleatoria (X,Y) está definida

Si F es la función de distribución acumulada de una variable bidimensional con función de distribución de probabilidad conjunta f, entonces

Función de Distribución Acumulativa. Sea X una variable aleatoria discreta o continua, F es la función de densidad acumulada de X,

, si

Si X es variable aleatoria discreta,

Si X es variable aleatoria continua,

F es no decreciente, por tanto,

Se cumple, también, con valores x1,x2,... y son x1<x2<x3<...

Sea F la función de distribución acumulada, entonces

Función de Masa de Probabilidad Discreta. FMP: , es una ley de probabilidad que cumples tres axiomas:

- , para todo x

-

-

Función de Distribución Acumulada. FDA: es la probabilidad del suceso de que la variable aleatoria tome valores menores o iguales a x

en el caso discreto

se sabe que,

Propiedades:

- -

- para cualquier >0 -

La FDA es una función monótona creciente.

Variables Aleatorias de Distribución Conjunta.

FMP Conjunta: Cuando dos o mas variables tienen comportamientos conjuntos

lo cual es igual a

FMP Marginal: Comportamiento de una variable sin considerar otra.

Para la variable aleatoria Y:

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