Variables aleatorias discretas

TEMA 10: MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Modelo de Bernouilli

● Corresponde a experimentos como el lanzamiento de una moneda. Sirve de modelo para muchas situaciones en las que sólo puede haber dos posibles resultados complementarios (A y no A): uno de ellos con probabilidad p y el otro con probabilidad (1-p).

Ejemplos:

- Inspeccionar un objeto para ver si es o no es defectuosos.

- Preguntar a una persona si tiene o no tiene trabajo

- Comprobar si una empresa está o no está en quiebra

- Ver si un alumno apruebe o no aprueba un examen

● Normalmente se denomina éxito (x=1) al suceso con probabilidad p y fracaso (x=0) al suceso con probabilidad 1-p. Por tanto, diremos que una variable aleatoria x tiene una distribución de Bernouilli si:

● Si x es una variable aleatoria con distribución de Bernouilli su media será:

y su desviación típica:

Ejemplo:

Sabemos que una máquina produce un 3% de piezas defectuosas.

La variable es x=1 si la pieza no es defectuosa y x=0 si la pieza es defectuosa, es decir:

La variable x sigue una distribución de Bernouilli con p=0,97, luego:

La distribución Binomial

● Se repite n veces de forma independiente un experimento de Bernouilli con probabilidad de éxito igual a p. La variable aleatoria x que expresa el número de “éxitos” obtenidos en este proceso sigue una distribución binomial con parámetros n y p: B(n,p).

Ejemplo:

En un país en el que está en paro el 25% de la población activa, se realiza una encuesta sobre distintos temas a 12 personas.

La variable aleatoria x que expresa el nº de encuestados que están en paro sigue una binomial con parámetros n=12 y p=0,25, es decir, una B(12,0,25).

● La distribución de Bernouilli es B(1,p), un caso particular de la binomial en que el experimento se realiza una sóla vez.

● Para conocer la distribución de una variable binomial x tendremos que especificar la probabilidad de que tome cualquier valor k entre 0 y n. La Tabla 1 del Apéndice B de Peña y Romo, presenta la probabilidad de k éxitos en una B(n,p), para distintos valores de n y de p.

Ejemplo: (continuación del B(12,025))

La probabilidad de que al realizar la encuesta se pregunte a 4 personas en paro (es decir, P(x=4)) se puede encontrar en la Tabla 1 (con n=12, k=4 y p=0,25) y es igual a 0,1936.

● Si x es una variable B(n, p) su media, varianza y desviación típica serán:

Para un valor de n, la dispersión es máxima cuando p=0,5.

Ejemplo: (continuación del B(12,025))

● La forma de la distribución depende del valor de p: si es menor que 0,5 es asimétrica a la derecha, si es mayor que 0,5 asimétrica a la izquierda y si es igual a 0,5 es simétrica.

Ejercicio 16.2 (Peña y Romo)

Se sabe que el 40% de los habitantes de una ciudad consumen

café diariamente:

a) Se pregunta a una persona si toma café a diario. La variable aleatoria x1 vale 1 si la respuesta es afirmativa y 0 en caso contrario. Hallar la media y la desviación típica de x1.

La distribución de x1 es una Bernoulli con p=0,4:

Si toma café: con probabilidad p=0,4

Si no toma café: con probabilidad 1-p=0,6

Luego:

b) Se encuesta a 20 personas sobre su consumo diario de café. Sea x el nº de personas encuestadas que consume café a diario. Calcular la probabilidad de que x sea igual a 12. Hallar la media y desviación típica de x. Obtener la probabilidad de que nadie tome café a diario y de que lo hagan al menos tres personas.

La variable aleatoria x sigue una distribución B(20,0,4) (n=20 y p=0,4).

Mirando en la Tabla 1 para k=12, n=20 y p=0,4 tenemos que:

La media y desviación típica de x son:

La probabilidad de que ninguna persona tome café diariamente, es decir, podemos encontrarla en la Tabla 1 para k=0, n=20 y p=0,4:

La probabilidad de que al menos tres personas tomen café a diario será:

Mirando en la Tabla 1 los valores para k=0, k=1 y k=2 (para n=20 y p=0,4) tenemos:

Ejercicio 16.3 (Peña y Romo)

Un partido político consigue el 20% de los votos en unas elecciones. Se realiza una encuesta a 15 personas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya entre ellas ningún votante del partido?

Sea x el nº de votantes del partido entre los encuestados, que sigue una distribución B(15,0,2) (n=15 y p=0,2), entonces nos piden . Si miramos en la Tabla 1 para k=0, n=15 y p=0,2, tendremos:

b) Hallar la probabilidad de que no haya más de 3 votantes de ese partido.

Si miramos los valores en la Tabla 1 para k=0,1,2 y 3 (para n=15 y p=0,2) obtenemos:

c) Obtener la probabilidad de que al menos tres personas voten a dicho partido

d) Calcular la media y la desviación típica del nº de votantes entre los 15 encuestados.

Ejercicio 16.5 (Peña y Romo)

Un examen consta de 15 preguntas cada una de las cuales tiene 4 posibles respuestas. Una persona sin conocimientos del tema responde las preguntas al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte la respuesta si contesta sólo una pregunta?

b) Hallar la probabilidad de que dicha persona no conteste bien a ninguna de las 15 preguntas. Calcular la probabilidad de que acierte alguna.

Sea la variable aleatoria x el nº de aciertos en las 15 preguntas que sigue una distribución B(15,0,25) (n=15 y p=0,25).

Nos piden la probabilidad de que no acierte ninguna, es decir, que, mirando en la Tabla 1 para k=0, n=15 y p=0,25, será:

La probabilidad de que acierte alguna será:

c) Obtener la probabilidad de que responda bien a todas las preguntas.

Mirando en la Tabla 1 para k=15, n=15 y p=0,25, tendremos que:

d) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste acertadamente a más de la mitad de las cuestiones?

Mirando en la Tabla 1 para k=8,9,..,15, (para n=15 y p=0,25), tendremos que:

e) ¿Cuál es la probabilidad de que el nº de preguntas

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