Variable aleatoria discreta

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Variable aleatoria discreta

Ensayo final Matemáticas I

Integrantes:

Asencio Alan

Elizalde Mugía Gabriela

Pérez Alejo Rocío Aidé

Rivera Lara Raquel Monserrat

Rubio Quintanares Sinuhé

Sarauz Salinas Eduardo

Introducción

Para abordar el tema con respecto a la variable aleatoria discreta es necesario establecer un punto de referencia que nos permita explicar las bases de la probabilidad, por lo cual procederemos a desarrollar un análisis a las raíces de la probabilidad pasando por el desarrollo de la teoría de la probabilidad para finalizar con los conceptos de las variables aleatorias.

        El estudio de la probabilidad matemática muestra sus inicios ligado a los juegos de azar desde tiempos antiguos monopolizando los intentos por describir los diferentes eventos que existían alrededor de estos, uno de estos juegos era el lanzamiento de dados, del cual nace un problema que durante el milenio pasado muchos estudiosos intentaron resolver “contabilizar el número de posibles resultados al lanzar un dado varias veces”, dicho problema hoy en día es fácil de interpretar debido a los conocimientos sobre permutaciones sin embargo en esos tiempos el enfoque al momento de intentar calcular los diferentes resultados no estaban guiados bajo el concepto de probabilidad, eran intentos aleatorios con base en diferentes juicios con el fin de encontrar una solución que no podía ser generalizada al momento en el que las variables cambiaban. Aunque el problema sobre lanzar tres dados fue resuelto por Richard de Fournival en el siglo XIII no fue hasta el siglo XVI que Galileo Galilei en su obra Sobre la puntuación en tiradas de dados hizo el cálculo permutando los lados posibles con el número de dados obteniendo 216=6³ obra en la cual calculaba las probabilidades de sacar n combinaciones de números y cual de estos fungia con una probabilidad mayor de suceder.

Antes de Galileo el jugador Girolamo Cardano había incursionado en el estudio de las probabilidades dentro de los juegos gracias a lo cual se introduce la idea de que la probabilidad de un evento se encuentra entre 0 y 1. En conjunto con Galileo, Blaise Pascal contribuyó al desarrollo de la teoría de la probabilidad, bajo la integración del triángulo de Pascal, Blaise Pascal fue capaz de dar una solución general a un problema establecido algunos siglos antes llamado “el problema de reparto de apuestas” el cual pretendía dividir las ganancias de un juego equitativamente en caso de que este fuera interrumpido antes de que terminara. Con base en estos estudiosos Christiaan Huygens introduce el concepto de esperanza matemática en un punto temporal en el que el término de variable aleatoria aún no había sido conceptualizado, aunque este fenómeno ya se había tomado en cuenta en estudios de diferentes científicos años atrás.

Existiendo diversos conocimientos de la probabilidad, hasta finales del siglo XVII fue que el objeto de estos estudios y aplicaciones empezaron a integrarse en aspectos distintos a los juegos de azar, Abraham De Moivre con base en la definición de Jakob Bernoulli nos brinda la definición clásica de la probabilidad: “Una fracción en la que el numerador es igual al número de apariciones del suceso y el denominador es igual al número total de casos en los que es suceso pueda o no pueda ocurrir. Tal fracción expresa la probabilidad de que ocurra el suceso”.

Desarrollo

        Con respecto al repaso bibliográfico se puede inferir que el término variable aleatoria no fue tomado en cuenta durante mucho tiempo sin embargo este describe la manera en la que se asociaba un valor numérico a un evento dentro del espacio muestral, tal como Poisson describió la asociación de un conjunto a1,a2,...aN con su probabilidad p1,p2,...pN. Fue Liapunov quien a finales del siglo XIX empezó a utilizar el término de variable aleatoria.

        Asociar un valor numérico a un espacio muestral, a primera instancia puede sonar bastante confuso a que se refiere esta acción o para que sirve establecer una variable aleatoria, por lo que antes de abordar a profundidad el concepto consideramos adecuado describir las utilidades de las variables aleatorias:

• Esta herramienta matemática nos permite pasar del estudio de sucesos aislados al estudio de las distribuciones de probabilidad.
• Al momento de establecer una variable aleatoria se puede aplicar un análisis matemático para encontrar puntos de referencia con respecto al interés del estudio para disminuir el nivel de incertidumbre.
• Será parte básica para la estructura de métodos inferenciales.

        Ahora teniendo en cuenta las utilidades de las variables aleatorias pasaremos a definirlas y entender cómo se conforman. Una variable aleatoria es una función real medible que asocia un valor numérico a cada resultado del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.

Tomando como ejemplo el lanzamiento de un dado con 6 caras numeradas consecutivamente del 1 al 6, podemos encontrar que al lanzarlo podremos obtener (1,2,3,4,5,6) a estos resultados posibles les llamaremos espacio muestral, el experimento aleatorio se conforma por la existencia del espacio muestral, es decir los resultados posibles y la incapacidad de saber cuál será el resultado obtenido. Y ahora, ya que existe la misma posibilidad de que salga cualquier número asignamos probabilidades a cada valor del espacio muestral, por lo cual encontramos que cualquiera que sea el número obtenido este tendrá una probabilidad de ⅙ de caer. Una vez que hemos asignado un valor a cada resultado del espacio muestral podemos analizar las probabilidades de sucesos elementales y probabilidades de sucesos compuestos, por ejemplo la probabilidad de que caiga en 1, donde 1 representa un subconjunto del espacio muestral cuya probabilidad es ⅙ como probabilidad elemental, y la probabilidad de que caiga 1,2,3 en donde 1,2,3 representan un subconjunto del espacio muestral y cuya probabilidad de aparecer sería de 3/6. 

Existen axiomas que habrán de cumplirse dentro de las variables aleatorias, uno de ellos es que para cualquier suceso de el espacio muestral la probabilidad deberá ser mayor o igual que 0 y menor o igual que 1, las sumas de las probabilidades de los sucesos dentro del espacio muestral deberán ser igual a 1.

Paso siguiente las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas, teniendo en cuenta que son discretas cuando cuyos valores posibles constituyen o un conjunto finito o un conjunto infinito numerable y son continuas cuando  toman un número infinito no numerable de elementos.

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