VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Variable aleatoria general

Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aun no realizado o valores de una cantidad cuyo valor es incierto.

En otras palabras: una variable aleatoria es un valor número que se encuentra afectado directamente por el azar; no es posible conocer con precisión el valor que tomara al ser medida.

Discreta: una variable aleatoria discreta es aquella que únicamente toma una cantidad finita de valores finitos dentro de un intervalo.

La determinación de la ley de una variable aleatoria discreta consiste en 2 cosas:

1.- Determinar el conjunto de valores que puede tomar x

2.- calcular p(x)

Ejemplos:

* El número de componentes en una cierta manada de animales

* El número de alumnos en un aula determinada

* El número de frutas en una canasta

* El número pelotas en un almacén

* El número de libros en un estante determinado

(se trata de valores que solo corresponden a números enteros y que de ninguna manera contienen fracciones de los mismos)

Dentro de las leyes más frecuentes para variables aleatorias discretas se encuentran:

1.-Ley uniforme: se trata de la ley de sorteos al azar (Equiprobabilidad). Dicha ley asigna la misma probabilidad a todos los elementos de un conjunto

2.-Ley de Bernoulli: si A es un evento de probabilidad p, la variable aleatoria I subíndice A tomara el valor "1" en caso de suceder y "0" en caso de no suceder

3.-Ley binomial: consiste en repetir el mismo experimento "n" veces en forma independiente y se cuenta el número de veces que se produce el evento, A. se considerara

la repetición de los "n" experimentos como uno nuevo Xi= 1 si A es verdadero como resultado del i-esimo experimento y Xi= 0 si Aes falso...

4.-Ley Geométrica: consiste en observar una sucesión de repeticiones independientes de un mismo experimento. Nos interesa el momento en que se produce el evento A por primera vez.

Se asume que la probabilidad p de A es estrictamente positiva.

5.-Ley de Poisson: Muchas variables aleatorias discretas corresponden a conteos de objetos con una característica, relativamente rara, dentro de un conjunto grande de objetos: átomos de un isótopo,

moléculas de un elemento químico, bacterias, virus, individuos que poseen un gen especial...  Con frecuencia se emplea una ley de Poisson como modelo para estos conteos.

6.-Ley Hipergeometrica: La ley hipergeométrica es la ley de ``captura sin reposición''. En una población de tamaño N, se extrae al azar una muestra (subconjunto) de tamaño n

Entre los N individuos de la población hay m que están marcados "poseen cierta característica".

El número X de individuos marcados entre los n individuos seleccionados, sigue la ley hipergeométrica de parámetros N,m,n.

La variable aleatoria X toma sus valores en el conjunto (0,...n).

7.-Ley Binomial Negativa: esta ley se emplea con mayor frecuencia en conteos de biología. el modelo base que la define; puede escribirse en términos de indicatrices de eventos

independientes, como en las leyes binomiales y geométricas.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EN FORMA GENERAL

Definición: se trata de aquella función que asigna a los sucesos definido; la probabilidad de que este suceda. Por tanto esta queda representada por el conjunto de sucesos en los cuales

Cada suceso es el rango de valores de la variable aleatoria.

Propiedades:

*Es una función continua por la derecha: una función F es continua por la derecha si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales

*Es una función monótona decreciente: una función es monótona si conserva el orden dado

Distribuciones de variable discreta: se denomina así a aquellas cuya función de probabilidad solo toman valores positivos en un conjunto de valores de X finito numerable.

a dicha función se le llama función de masa de probabilidad

Distribuciones de variable continua: se denomina asi a aquellas que pueden tomar cualquiera de los valores infinitos dentro de un intervalo. en el caso de las variables continuas

la distribución de la probabilidad es la integral de la función de la densidad.

VALOR ESPERADO

El valor esperado de una Variable Aleatoria X es el promedio ponderado de todos los valores posibles de la misma. Donde los pesos son las probabilidades asociadas con los valores.

Para calcular el valor esperado de una variable aleatoria por su correspondiente probabilidad y luego sumar los términos resultantes.

En otras palabras; se trata de la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso; representa la cantidad media que se espera de cierto experimento

aleatorio. (la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se realiza un número significativo de veces).

Propiedades:

*De ser X positiva; entonces el valor esperado de X también lo será

*La esperanza matemática de una constante es igual a esa misma constante

*Si X está delimitada por dos números reales, a y b, tal que: a < X < b, entonces también lo está su media: a

*La esperanza es un operador lineal ya que: E(X+c)= E(x)+ c

Ejemplos:

1.- Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 Euros o un segundo premio de 2000 Euros con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

E(x) = 5000 * 0.001 + 2000 * 0.003 = 11 Euros

2.- Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 o 2 Euros si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 euros si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

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