VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (V.A.D)

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (V.A.D)

VARIABLE ALEATORIA: (X)

Los resultados de los experimentos aleatorios, cualesquiera que sean, tienen que estar expresados cuantitativamente. Para ello, hay que contar con métodos capaces de definir reglas precisas que asignen números reales a los resultados de los experimentos aleatorios, teniendo en cuenta qué se quiere medir y cómo se quiere medir.

Se llama Variable Aleatoria a una función, o regla bien definida, que asigna a cada elemento del espacio muestral, un N° Real.

Puede ser Discreta o Continua.

Por ejemplo: Al tirar una moneda, los sucesos son CARA y CECA ó al tirar 2 monedas los sucesos son 1 CARA, 2 CARAS o NINGUNA CARA, ó en un bolillero con bolillas rojas y azules, al extraer una, los sucesos son “bolilla Roja” o “bolilla azul”

Ahora si a estos sucesos le asignamos un número para identificarlos se transforman en variables aleatorias..

Por ejemplo podríamos asignarle a CARA el 0 y a CECA le asignamos 1,

O en el caso de tirar dos monedas:

Suceso Variable

NINGUNA CARA 0

1 CARA 1

2 CARAS 2

Esto se hace porque vamos a utilizar el concepto de funciones de probabilidad. Y para hablar de funciones la variable debe ser cuantitativa. Hay veces que los sucesos son directamente números.

V.A.D :

Es aquella variable aleatoria cuyo recorrido (conjunto de todos los n° Reales que se pueden asignar a X) es Finito o Infinito Numerable.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD:

Se llama Función de Probabilidad de una v.a.d a una función o modelo matemático, que asigna a cada valor de la variable un número real no negativo, llamado Probabilidad Puntual, de modo tal que la suma de todos estos valores, debe ser igual a la unidad.

De esta definición se desprenden las 2 condiciones que debe tener una FUNCION DE PROBABILIDAD de una VAD

Condición de No Negatividad: p(xi) ≥ 0

Condición de Cierre: ∑_(i=1)^∞▒〖 p(xi)〗 = 1

A cada número p(xi) se lo denomina PROBABILIDAD PUNTUAL porque es la probabilidad de que la variable X asuma exactamente, puntualmente, el valor xi

P(xi)= P(X= xi)

Una variable aleatoria Discreta, x, queda “ESTRICTAMENTE DEFINIDA” cuando se establece su Función de Probabilidad Puntual.

El conjunto de pares ordenados (xi ; p(xi)), para todo i, forma una Distribución de probabilidad puntual.

X p (X)

x1

x2

x3

.

.

.

xn p (x1)

p (x2)

p (x3)

.

.

.

p (xn)

Por Ejemplo:

Experimento, tiro 3 monedas:

Su espacio muestral es: 3Caras y 0 cecas; 2 caras y 1 Ceca; 1 cara y 2 Cecas ; 0 caras y 3 cecas

“3C” “2C” “1C” “0C”

P(ccc)= 1/8 → P(3c)= 1/8

P(ccx)= 1/8

P(cxc)= 1/8 P(2c)= 3/8

P(xcc)= 1/8

P(xxc)= 1/8

P(xcx)= 1/8 P(1C)= 3/8

P(cxx)= 1/8

P(xxx)= 1/8 → P(0C)= 1/8

X= n° de caras p (X)

0 C

1 C

2 c

3 c 1/8

3/8

3/8

1/8

Total: 1

Esta tabla representa la Función de Probabilidad de la variable “número de caras”, pues se le asigna a cada valor de la variable un número real no negativo, que es su Probabilidad Puntual. Además

Cada p(xi) ≥ 0 y ∑_(i=1)^∞▒〖 p(xi)〗 = 1

Existen modelos de Funciones:

La distribución de Bernoulli

La distribución Binomial

La distribución Hipergeométrica

La distribución de Poisson

FUNCION DE PROBABILIDAD ACUMULADA O DE DISTRIBUCION: F(Xi)

Se llama Función de Distribución de una variable aleatoria discreta, a una función que asigna a cada valor de la variable, un número real que representa la suma de todas las probabilidades puntuales, desde el primero hasta el valor en cuestión.

F (xk)= ∑_(i=1)^k▒〖 p(xi)〗

Cada número F(xk) se denomina PROBABILIDAD ACUMULADA HASTA EL VALOR XK , y representa la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a xk

F (Xk)= P(X ≤ xk)

El conjunto de pares ordenados (xi ; F(xi)), para todo i, forma una Distribución de probabilidad Acumulada hasta un valor de la variable, o simplemente, Distribución Acumulada.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Función de probabilidad que toma 2 valores solamente (presencia o ausencia de determinado atributo). Si el atributo no se presenta, a la variable se le asigna el valor cero; si el atributo se presenta, a la variable se le asigna el valor uno.

Ejemplo: tiro una moneda, Cara = 0 y ceca = 1, entonces la función sería:

X p (X)

0

1 ½

½

Total 1

En General

S= { A ; Ac }

A= ÉXITO 1 ; AC = NO ÉXITO 0

P(A)=P(1)= p ; P(AC)=P(0)= 1- p

Definición:

La cantidad de elementos con un determinado atributo que se presenta en una observación de un experimento aleatorio dicotómico, es una Variable Aleatoria Discreta X, cuya función de probabilidad es la Distribución de Bernoulli , dada por :

P(X=xi) = px . (1- p)1-x , 0 ≤ X ≤ 1 ˄ X N0

Condiciones:

P(Xi) ≥ 0

∑ P(Xi) = 1

Repetición de un Experimento Aleatorio Dicotómico:

La repetición de este tipo de experimento da origen a dos funciones de distribución (Distribución Binomial y Distribución Hipergeométrica). Cada vez que el experimento aleatorio dicotómico se repite, los elementos que tengan el atributo considerado pueden presentarse o no (es aleatorio), entonces, en las “n” repeticiones del experimento, habrá algunos elementos que tengan atributo, o ninguno, o todos.

Para definir completamente una variable aleatoria discreta se necesitan conocer las probabilidades puntuales correspondientes a cada valor xi, de la variable X.

El cálculo de cada una de las probabilidades

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