Variable Aleatoria Discreta

A veces, el interés es determinar la variabilidad de la variable aleatoria. Definimos entonces la varianza de la variable aleatoria X, denotada , ó σ2 mediante la siguiente ecuación:

V(X) = E[(X-E(X))2] y su forma reducida es:

=

donde, =

Para el ejemplo dado, =

=

Entonces, =

a) V(k)=0

b) V(kX)=k2V(X)

c) V(XY)=V(X)+V(Y) si X y Y son independientes

d) V(aX+bY)= a2V(X)+b2V(Y)+2abCov(XY)

donde Cov(XY) = E((X-X)(Y-Y)) = E(XY)-XY

La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada positiva de la varianza, es decir, σ = .

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Un ensayo Bernoulli es un experimento aleatorio que sólo admite dos posibles resultados, denotados éxito y fracaso. La probabilidad de éxito se denota p.

Por lo tanto si denotamos el éxito por 1 y el fracaso por 0 se tiene:

P(1)= p P(0)=1-p=q

Además se cumple: E(X)= p V(X)=pq

Un proceso Bernoulli es un proceso en el cual se verifican las siguientes condiciones:

El experimento aleatorio se repite n veces en idénticas condiciones

Hay sólo dos posibles resultados en cada repetición del experimento, llamados arbitrariamente éxito y fracaso

La probabilidad de éxito, denotada p, es la misma para cada repetición (permanece constante entre repeticiones)

las n repeticiones del experimento aleatorio son independientes entre sí

Consideremos ahora la variable aleatoria X: # éxitos observados en n repeticiones. Suponga que se quiere determinar la probabilidad de observar x éxitos en n repeticiones; esto es, se desea determinar P(X = x). Como lo importante es observar x éxitos en n repeticiones, el orden de ocurrencia de los mismos es irrelevante; así, para contar de cuántas formas pueden observarse x éxitos en n repeticiones empleamos las combinaciones . Por otro lado, como las n repeticiones del experimento son independientes entre sí y calcular P(X = x) equivale a calcular la probabilidad de una intersección de eventos (en las que cada evento corresponde a un éxito o a un fracaso), tenemos que la probabilidad de un punto muestral cualquiera asociado al experimento es ; en definitiva:

P(X = x) =

Dado que y , resulta que P(X = x) = determina una distribución de probabilidades denominada distribución binomial.

En resumen, se dice que la variable aleatoria X tiene distribución binomial si su función distribución de probabilidad está dada por

=

Se puede demostrar que para una variable aleatoria con distribución binomial

= n.p

= n.p.q

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA:

Una variable aleatoria X tiene una distribución hipergeométrica si se toma una muestra sin reemplazo de un conjunto de N elementos, de los cuales k son considerados de una categoría en especial (aciertos) y los otros N-k son considerados de otra categoría (fallas) y se desea obtener x aciertos de una muestra de n elementos ó ensayos. Se expresa de la siguiente formula:

Esto también se puede extender para más de dos grupos.

Ejemplo:

Si existe tres grupos el primero con k1 elementos, el segundo grupo k2 y el tercero con k3 Si queremos hallar la probabilidad de escoger x elementos del primer grupo, y elementos del segundo grupo y z elementos del tercer grupo sin reemplazo; la probabilidad es la siguiente:

Ejemplos:

.- En una urna hay 8 esferas rojas y 6 esferas blancas si se escoge una muestra de 5 esferas de las cuales 3 son rojas cual es la probabilidad que eso ocurra.

.- Cual es la media y varianza del problema anterior.

.- Un producto industrial particular se embarca en lotes de 20. Un proyecto de muestreo elaborado consiste tomar una muestra de cinco artículos de cada lote y el rechazo del lote se realizara si se encuentra más de un artículo defectuoso. Si un lote contiene cuatro defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace el lote?

.- En una urna hay 8 esferas blancas, 6 esferas rojas y 4 esferas azules. ¿Cuál es la probabilidad de escoger sin reemplazo 3 blancas 4 rojas y 2 azules?

DISTRIBUCIÓN POISSON

Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X que ocurre durante un intervalo de tiempo dado o en una región específica se denominan experimentos Poisson. El intervalo puede ser de cualquier longitud: un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año; y la región específica podría ser: un segmento de línea, un área o quizás una pieza de material. Un experimento Poisson se deriva de un proceso Binomial, el cual verifica las siguientes propiedades:

El número de resultados que ocurren en un intervalo o región es independiente del número de resultados que ocurren en otro intervalo o región. (Esto determina una característica que se conoce como falta de memoria)

La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

la probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

La variable aleatoria X: # de resultados que ocurren durante un experimento Poisson se denomina variable aleatoria Poisson y su distribución de probabilidades, dada por se denomina distribución Poisson; donde  es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región. Para una variable aleatoria con distribución Poisson se tiene = = .

Ejercicios de distribución binomial

Ejemplo 1

Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.

Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).

Ejemplo 2

La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:

a) Ninguno sufra la enfermedad

b) Todos sufran la enfermedad

c) Dos de

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