FUnciones Pares E Impares

FUNCIONES PARES E IMPARES

1. Función par

Definición: Una función f se dice par si ∀x∈D(f ) se

verifica: f(x) = f(–x) (o sea, si para cualquier x del dominio

de la función, es decir, para todos los valores de x

para los que existe imagen, la imagen de x y la de su

opuesto –x coinciden).

Si nos fijamos en el gráfico, esto significa que la gráfica

de la función pasa por los puntos (x, f(x)) y (–x, f(–x)),

que son simétricos respecto del eje OY. Y como esto

sucede para todos los x del dominio de f, la gráfica de una función par resulta ser simétrica

respecto OY.

2. Función impar

Definición: Una función f se dice impar si ∀x∈D(f )

se verifica: –f(x) = f(–x).

Analizando el gráfico descubrimos que la gráfica de

la función pasa por los puntos (x, f(x)) y (–x, f(–x)),

que son simétricos respecto del punto O. Y como esto

sucede para todos los x del dominio de f, la gráfica de

una función par resulta ser simétrica respecto del origen

de coordenadas.

3. Ejemplos

La mayoría de las funciones ni son pares ni impares. Sin embargo, descubrir si una función,

dada por su fórmula, es par, impar o ninguna de las dos cosas suele ser bastante

fácil y, caso de ser par o impar, nos aporta bastante información sobre la gráfica, al tener

ésta una simetría. Observemos los siguientes ejemplos:

2

y x4 3x2 −

= par y = 3x3 – 2x impar y = sen x impar

2 3

3

4

2

+

=

x

y x par y = x3 impar y = x2 – 4x + 3 ni par ni impar

–x x

f(x) = f(–x)

–x x

f(x)

f(–x) = –f(x)

Matemáticas Bachillerato Funciones Pares e Impares

IES V Centenario – Profesor R. Mohigefer Página 2 de 2

Démonos cuenta de las simetrías de las funciones pares e impares, respecto de OY y de

O, respectivamente. Nótese que la última función, al ser parábola, tiene una simetría

respecto de su eje x = 2, pero no es par ni impar.

Otros ejemplos de funciones conocidas: Son pares las funciones y = cos x, y = x2. Son

impares y = 1/x, y = tg x, y= arcsen x, y = arctg x. No son ninguna de las dos cosas

y = ex, y = ln x.

4. Problemas

Calculemos si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos cosas.

1)

2

y x4 3x2 −

=

f(x) =

2

x4 − 3x2

⇒

f(–x) =

2

(−x)4 − 3(−x)2

=

2

x4 − 3x2

que coincide con f(x). Luego, la función es par.

2) y = 3x3 – 2x

Antes de comenzar, observemos que (–x)3 = (–x)(–x)(–x) = – x3. Pues

...