MAESTRIA EN MATEMATICA SECUNDARIA COMUNITARIA PRODUCTIVA “NÚMEROS PARES E IMPARES”

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA

“Mariscal Sucre”

FACULTAD DE POST GRADO

MAESTRIA EN MATEMATICA SECUNDARIA COMUNITARIA PRODUCTIVA

“NÚMEROS PARES E IMPARES”

Rodrigo Rojas Vasquez

Un número entero es cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales, sus opuestos (versiones negativas de los naturales) y el cero. Estos son:

• Los naturales (o enteros positivos): +1, +2, +3, +4, +5...
• El cero, que no es ni positivo ni negativo.
• Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5...

El conjunto de los enteros se designa por [pic 2], (nótese que no es una Z). Así también se puede definir a los números enteros como la unión de dos subconjuntos: conjuntos de números pares y conjunto de números impares.

Los números pares, son en matemáticas aquellos números enteros múltiplos del número 2. Por el hecho de ser enteros incluye tanto a números positivos como negativos. Todos aquellos que no sean múltiplos de dos les llamaremos números impares. Esta es una clasificación excluyente, es decir, los números serán o pares o impares, pero nunca podrán ser a la vez pares e impares. Además, obligatoriamente deben pertenecer a uno de los dos conjuntos. Por ello decimos que su paridad es la cualidad que les atribuye ser par o impar nunca ambos y obligatoriamente uno de los dos.

Para esta demostración nos apoyaremos en los números Naturales [pic 3]e inferiremos que esto se amplia para todo número entero, esto por conveniencia ya que utilizaremos el método de demostración de por INDUCCIÓN COMPLETA que es el método por excelencia a las demostraciones de los números naturales, el cual no desarrollaremos en este artículo por no desbordarnos del tema. Pero que básicamente nos dice:

1. 1 esta en A
2. h esta en A, entonces h+1 esta en A
3. A=[pic 4]

Entonces dadas todas las premisas que se espera que hayas sido suficientes para justificar lo que se quiere demostrar, partiremos de la definición por comprensión de los dos subconjuntos pares impares:        

[pic 5][pic 6]

Primero debemos probar que [pic 7]se puede expresaren la forma[pic 8]

Probar: [pic 9]

Si n=1               1= (2.1) [pic 10] (2.1-1)

1=2[pic 11]1

1=1

Si n=h               h=2p[pic 12]2p-1  [pic 13]

h=2p[pic 14]2p-1     hipótesis inductiva

h+1=2p+1[pic 15]2p-1+1

h+1=2p[pic 16]2p+1

[pic 17] se cumple que n=2p [pic 18] 2p-1 …1

Sea [pic 19]se tiene [pic 20]si [pic 21][pic 22]…2

[pic 23] Por 1 y 2 se infiere que todo numero natural es par o impar, pero no ambos

Con todo lo mencionado anteriormente queda demostrado que:

...