Fractales De Lyapunov

Fractales de Lyapunov

En las matemáticas , fractales Lyapunov (también conocidos como fractales Markus-Lyapunov) son bifurcaciones fractales derivados de una extensión del mapa logístico en el que el grado de crecimiento de la población, r, cambia periódicamente entre dos valores de A y B.

A Lyapunov fractal se construye mediante la cartografía de las regiones de la estabilidad y el comportamiento caótico (medido mediante el exponente de Lyapunov \ Lambda ).

Lyapunov fractales son generalmente atraídos por los valores de A y B en el intervalo [0,4] . Para valores más grandes, el intervalo [0,1] ya no es estable, y la secuencia es probable que ser atraído por el infinito, aunque ciclos convergentes de valores finitos siguen existiendo para algunos parámetros. Para todas las secuencias de iteración, la diagonal a = b es siempre el mismo que para la función logística de parámetro estándar.

La secuencia se inicia normalmente en el valor de 0,5, que es un punto crítico de la función iterativa. Los otros puntos críticos (incluso valores complejos) de la función iterativa durante toda una ronda son los que pasan por el valor de 0,5 en la primera ronda. Un ciclo convergente debe atraer al menos un punto crítico [ cita requerida ], por lo que todos los ciclos convergentes puede obtenerse simplemente cambiando la secuencia de repetición, y mantener el valor inicial 0.5. En la práctica, cambiando de esta secuencia conduce a cambios en el fractal, como algunas ramas se cubren por otros; aviso, por ejemplo, cómo el fractal de Lyapunov para la iteración secuencia AB no es perfectamente simétrico con respecto a a y b.

Algoritmo para la generación de fractales Lyapunov

Un algoritmo , para calcular el fractal se resume de la siguiente manera.

Elige una cadena de A y B de cualquier longitud no trivial (por ejemplo, AABAB).

Construir la secuencia S formado por términos sucesivos de la cadena, que se repite tantas veces como sea necesario.

Elija un punto (A, b) \ in [0,4] \ veces [0,4] .

Definir la función R_n = a si S_n = Un , Y R_n = b si S_n = B .

Dejar x 0 = 0,5 , Y calcular las iteraciones x_ {n +1} = R_n x_n (1 - x_n) .

Calcular el exponente de Lyapunov:

\ Lambda = \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} {1 \ over n} \ sum_ {n = 1} ^ N \ log \ left | {dx_ {n +1} \ over dx_n} \ derecho | = \ {lim_ N \ rightarrow \ infty} {1 \ over n} \ sum_ {n = 1} ^ N \ log | R_n (1 - 2x_n) |

En la práctica, \ Lambda es aproximada por la elección de una adecuada gran N .

Colorea el punto (A, b) de acuerdo con el valor de \ Lambda obtenido.

Repetir los pasos (3-7) para cada punto en el plano de la imagen.

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