Fractales

Universidad de Oriente

Núcleo de Anzoátegui

Escuela de Ingeniería y Ciencias Aplicadas

Departamento de Computación y Sistemas

Teoría de Sistemas

Fractales

Profesor:

Andres Martinez

Bachilleres:

José Mendoza

CI: 19464118

Eduard Rodríguez

CI: 20765760

Randolph Zamora

CI: 2063664

Introducción

La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La expresión, así como el concepto, se atribuye al matemático Benoit B. Mandelbrot, del Centro de Investigación Thomas J. Watson, Nueva York.

Benoît Mandelbrot, fue quien les dio el nombre en el año 1975, aunque el origen matemático de los fractales hay que situarlo entre 1875-1925, cuando se produce una crisis en la definición de dimensión, y probablemente, el primer objeto fractal puro en la historia es el conjunto o polvo de Cantor, que fue descrito en 1890 por el matemático alemán Georg Cantor.

La teoría de la geometría de los fractales, se formó en IBM cuando intentaban solucionar un problema de ruido en las comunicaciones telefónicas de los ordenadores. Fue Mandelbrot, quien trabajaba en dicha compañía, quien descubrió que el fallo se encontraba en la distribución errónea del flujo de la información, ya que existía una relación geométrica entre los periodos de ruido y los periodos sin él, que se podía comprobar visualmente y representar en un gráfico.

En este trabajo hablaremos principalmente sobre los fractales sus tipos, características y su relación con respecto a la teoría del caos, el número phi y la serie Fibonacci.

Fractales

Se puede definir el fractal como una figura semi-geométrica cuya estructura básica se repite a diferentes escalas en una proporción conocida como dimensión áurea, o lo que es lo mismo, el número Phi Φ (1,618). La belleza de los fractales y su misteriosa eficacia es lo más emocionante desde la teoría general de la relatividad de Einstein.

Los patrones matemáticos dirigen muchas formas de la naturaleza, hay numerosos ejemplos de sistemas en forma de fractales, sucesiones de Fibonacci, patrones que siguen el número áureo y que dan lugar a formas muy bellas.Algunos de ellos son:

• Los copos de nieve, aunque ninguno sea similar a otro, cada uno posee una estructura de este tipo.

• Los trazos generados por el paso del Río Colorado a lo largo de millones de años ha dotado al Gran Cañón con un sublime diseño fractal.

• La distribución de las hojas en un tallo.

• El brócoli Romanesco, manifiesta un exquisito diseño fractal representando un espiral dorado.

• Los relámpagos acceden espontáneamente a un algorítmico fractal en cuestión de instantes para luego disolverse.

• El pavo real en su plumaje también manifiesta una naturaleza fractal que ayuda a los machos de esta especie a seducir a las hembras

Características de un fractal

Auto similitud

La autosimilitud se percibe cuando las partes de un objeto tienen la misma forma que la del todo pero a diferentes escalas y algunas pueden estar un poco deformadas. Los fractales poseen tres tipos de autosimilitud:

• Exacta: en el cual todas las partes del fractal son idénticas en su forma sin excepción. Fractales en la naturaleza que cumplan con esta característica son extremadamente extraños.

• Cuasi-auto similitud: el fractal puede variar un poco en la semejanza de sus partes. Por lo general la mayoría de los fractales conocidos se encuentran en esta categoría.

• Autosimilitud estadística: este tipo es el más flexible para un fractal ya que este solamente se deben mantener medidas estadísticas de auto replicación con el cambio de escala.

Dimensión Fractal

También conocida como La Geometría Fractal o geometría de la naturaleza, es un conjunto donde existen de estructuras irregulares y complejas que se describen a través de algoritmos matemáticos y computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás figuras provenientes de la matemática tradicional.

Estos objetos tienen como características fundamental las propiedades de auto similitud y la de convivir en extraños paisajes formados por dimensiones fraccionarias.

Algunos sistemas naturales reconocidos como caóticos y descritos a través de los Fractales pueden ser todo lo relacionado con turbulencias, ya sea en el aire o agua; todo lo referido a ramificaciones, como redes neuronales, ríos; propagaciones de poblaciones y enfermedades; estructuras montañosas y vegetales.

Tipos de fractal

De acuerdo a su origen los tipos de fractales se pueden clasificar de la siguiente manera:

Lineales:Se generan a partir de conceptos y algoritmos lineales, como por ejemplo rectas o triángulos. Pueden obtenerse mediante trazados geométricos simples.

Complejos:Se generan mediante un algoritmo de escape. Para cada punto se calculan una serie de valores mediante la repetición de una formula hasta que se cumple una condición, momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la ayuda del ordenador.

Orbitas Caóticas:Este tipo de modelo nació con un estudio sobre órbitas caóticas desarrollado por Edward Lorenz en 1.963. El atractor de Lorenz tiene un comportamiento fractal, aunquecaos y fractales no son sinónimos y tienen comportamientos distintos; solamente comparten una formulación sencilla.

Autómatas cedulares:Los autómatas celulares fueron utilizados por primera vez por los matemáticos John von Neumann y StanislawUlamen 1948 para representar la reproducción en algunos sistemas biológicos.

Un autómata celular es un sistema dinámico discreto, (espacio y tiempo toman valores discretos), cuya función asociada toma un conjunto finito de valores. Funcionan con sencillas reglas que colorean zonas a partir del color de las adyacentes.

Plasmas:Estructuras como el plasma o las imágenes de difusión dependen en cierta medida del azar, por lo cual son únicas e irrepetibles.

Ello se debe a que no es un proceso determinista, sino totalmente aleatorio. Consiste en un patrón único e irrepetible de colores

Fractales y la Teoría del Caos

La Teoría del caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias que tratan ciertos tipos de sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iníciales.

La teoría del caos tiene un fuerte trasfondo filosófico. El enfrentamiento entre el orden y el caos, o entre reaccionismo y determinismo postulan nuevas preguntas que dan lugar a la llamada "Nueva Ciencia".

Los fractales no lineales o complejos implican caos, pero el caos no implica a fractales, es decir, la teoría del caos no se basa únicamente en la geometría fractal ya que se basa en una diversidad muy grande de herramientas matemáticas que van mucho más allá de los Fractales. Pero aquellos sistemas no lineales o caóticos que tengan Autosimilitud y una dimensión fraccionaria serán estudiados por la Geometría Fractal, aunque no todos los sistemas caóticos poseen estas cualidades.

Los sistemas caóticos son aquellos que se encuentran afectados directamente por sus condiciones iníciales, transformándolos en el transcurso del tiempo en sistemas imposibles de predecir.

Podemos poner como ejemplo el llamado "efecto mariposa", el cual estipula que pequeñas variaciones en las condiciones iníciales de un sistema dinámico pueden producir grandes variaciones en el comportamiento del sistema a largo plazo. Se dice para ejemplificar esta definición que si una mariposa aletea en Tokio, bajo determinadas circunstancias es posible que la onda que produce el aleteo viaje y se potencie originando un huracán en el Caribe. Por lo tanto nos encontramos ante un fenómeno prácticamente imposible de predecir. Vemos pues que cualquier sistema regido por las leyes de la naturaleza en un momento dado se puede transformar en un sistema totalmente caótico que esté regido más por el azar que por las leyes de la naturaleza.

Resulta

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