Fractales

Fractales

Miguel Reyes

Objetivos

El objetivo que aquí nos planteamos es familiarizar a los alumnos de primer curso de Estalmat con los conjuntos

fractales. El primer problema que se nos presenta es explicar qué se entiende por conjunto fractal, para lo que en

principio nos podemos limitar a mostrar como ejemplos los de las siguientes figuras, que son los conjuntos de los

que nos vamos a ocupar más adelante.

Conjunto de Cantor

Curva de Koch

Triángulo de Sierpinski

Alfombra de Sierpinski

La palabra fractal, referida a conjuntos matemáticos, apareció por primera vez en el año 1977 cuando Benoit Mandelbrot

la utilizó en su libro [1] para referirse a ciertos conjuntos con todas o algunas de las siguientes propiedades:

Tienen detalles a todas las escalas, entendiendo por esto que mirados a cualquier nivel de escala (zoom)

manifiestan detalles ya observados a nivel global.

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Son autosemejantes, es decir, que están formados por partes que son semejantes al conjunto total.

Tienen una descripción algorítmica simple, entendiendo por ello que su construcción se basa en un algoritmo

sencillo.

Es fácil observar que los cuatro conjuntos que aparecen en la figura anterior verifican las tres propiedades descritas.

Entre las muchas actividades que se pueden plantear alrededor de los conjuntos fractales, aquí vamos a tratar las

dos que consideramos más interesantes: construcción de fractales mediante algún software matemático-geométrico

y una introducción a la medida y dimensión fractal.

1. Construcción de fractales

El mejor modo de entender lo que es un fractal consiste en examinar como surge geométricamente a partir de su

definición algorítmica. Los cuatro fractales anteriores se construyen mediante sencillos algoritmos geométricos

que podemos implementar con cualquier software geométrico del tipo de Cabri, GeoGebra, etc. Describiremos a

continuación cómo se puede proceder para construir cada uno de ellos.

1.1. Conjunto de Cantor

El conjunto de Cantor es el fractal por antonomasia, y también el primero conocido. Fue ideado por Georg Cantor

en 1883 como ejemplo de conjunto de longitud cero cuyos puntos se pueden identificar uno a uno con todos los

puntos de una recta (que tiene longitud infinita).

Para su construcción se parte de un segmento de longitud 1. Se divide en tres partes iguales y se elimina la parte

central abierta (es decir, sin incluir los extremos). Cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se

eliminan las partes centrales (abiertas) en cada una de ellas. Se procede igual con cada uno de los cuatro segmentos

que quedan. Y se repite el proceso infinitas veces.

Primeros pasos de la construcción del conjunto de Cantor

Como se observa aquí, y se repetirá en el resto de fractales, la construcción se obtiene después de infinitas repeti-

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ciones de un algoritmo geométrico sencillo: dividir un segmento en tres partes iguales y eliminar la parte central

(es decir, quedarnos con las dos partes de los extremos).

Para implementar la construcción con el software geométrico elegido se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Construir una macro que divida un segmento en tres partes iguales: se dibuja un segmento y aplicando, por

ejemplo, la regla de Thales, se obtienen los dos puntos que lo dividen en tres partes iguales. El objeto inicial

de la macro es el segmento original y el objeto final los dos puntos obtenidos.

División de un segmento en tres partes iguales

Esta macro, que llamaremos thales, se puede guardar para usarla más adelante en la construcción de la curva

de Koch.

2. Construir una macro, que llamaremos cantor asociada al algoritmo: se dibuja un segmento al que se le aplica

la macro thales que lo divide en tres partes iguales y, de los tres segmentos obtenidos, dibujamos los dos de

los extremos. El objeto inicial de la macro es el segmento original y el objeto final los dos segmentos de los

extremos.

Objeto inicial Macro thales Objeto final

Construcción de la macro cantor

Para la visualización correcta del algoritmo es conveniente, dependiendo del software que se use, eliminar o

dibujar de un color claro (casi invisible) el segmento original. Esta macro, que llamaremos cantor, se guarda

para usarla en el paso siguiente.

3. Se dibuja un segmento inicial al que se aplica la macro cantor para obtener los dos segmentos del primer

paso de la construcción del conjunto de Cantor. Aplicando repetidamente la macro cantor a estos segmentos

y a sus descendientes se puede avanzar tanto como se desee en la construcción del conjunto de Cantor.

Conjunto de Cantor construido hasta el paso 5

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1.2. La curva de Koch

La curva de Koch fue ideada por Helge von Koch en 1904 como ejemplo de curva de longitud infinita contenida

en un recinto acotado y sin tangente en cualquier punto. Su construcción se hace mediante un proceso similar al

del conjunto de Cantor.

Se parte de un segmento de longitud 1. El primer paso consiste en dividirlo en tres intervalos iguales, construir

un triángulo equilátero sobre el intervalo central y suprimir la base de dicho triángulo, como indica la figura. El

segundo paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de

los cuatro intervalos que han resultado. Y se repite el proceso infinitas veces. La curva de Koch es la curva a la que

se van aproximando las sucesivas poligonales que resultan en cada paso.

Segmento original Paso 1 Paso 2

Primeros pasos de la construcción de la curva de Koch

La curva de Koch se

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