Fractales

Fractales

2.1- Un poco de historia: los orígenes

La matemática fractal había sido, hasta los años 70, relegada a los pies de página o a los márgenes. Cuando algún matemático se encontraba con un monstruo lo consideraba una mera anécdota.

En 1919 Hausdorff ideó un método para medir las dimensiones y medidas de los fractales, el llamado medida y dimensión Hausdorff. Al año siguiente Besicovitch, interesado por el trabajo de Hausdorff, en particular por la dimensión Hausdorff 1 creó la teoría geométrica de la medida.

En 1963 Edward Lorenz, meteorólogo, intuía el efecto mariposa al redondear unos decimales en su programa de ordenador que simulaba situaciones meteorológicas. Al variar ligeramente el número de decimales después de la coma e introducir los resultados en su ordenador el programa devolvió unos resultados sorprendentemente diferentes a los anteriores. El caos matemático había nacido.

Efecto mariposa: Esta expresión proviene del hecho que el aleteo de una mariposa en un remoto lugar de la Tierra puede originar un tornado en otro lugar. Exageraciones a parte, el caos demuestra que unas ligeras variaciones en las condiciones iniciales pueden originar resultados impredecibles.

Gastón Julia (1893-1978) fue uno de los grandes precursores de la matemática fractal. Nacido en 1893 fue herido en la cara durante la Primera Guerra Mundial. Durante su estancia en el hospital se interesó por las iteraciones de funciones complejas y finalmente publicó el artículo “informe sobre la iteración de las funciones racionales” de 199 páginas en la revista francesa Journal de Mathématiques Pures et Apliques. Ello le mereció un galardón por parte de la Academia de ciencias de Francia. En este artículo se mostraba lo que más tarde se tratará en este trabajo, el conjunto de Julia.

Benoît Mandelbrot (1924), en los años 70 y posteriores, se interesó mucho por la posibilidad de que una regla o cierto tipo de orden determinaran el ruido que se proyectaba en las comunicaciones entre ordenadores. Este ingeniero de l’Ecole Politecnique de París y actualmente IBM Fellow en el J.J. Watson Research Center y profesor de matemáticas en la universidad de Harvard había dado el primer gran paso al publicar el libro sobre el cual reposan los fundamentos de la matemática fractal: The Fractal Geometry of Nature (La geometría fractal de la naturaleza 1977, 1982, 1983).

En 1987, el matemático inglés Michael F. Barnsley descubrió la transformación fractal, capaz de detectar fractales en fotografías digitalizadas. Ello permitió crear la compresión fractal para imágenes que obtiene resultados aceptables pero muy inferiores a la compresión JPEG o JPEG2000. Pero quizá el verdadero protagonista de la historia fractal haya sido el ordenador. Ese gran invento que revolucionó el mundo permitió dar pasos agigantados en numerosas ciencias, entre ellas la matemática. Los fractales quizá no hubieran sido objeto de estudio si no hubieran existido ordenadores o hubieran seguido siendo monstruos destinados a los pies de página o márgenes.

2.2- La necesidad de una nueva geometría: Geometría fractal versus Geometría euclidiana

La geometría euclidiana ha simplificado las irregularidades. En concreto ha linealizado las leyes, ha hecho una aproximación de la ley real y ha regularizado las formas geométricas, es decir, suponer suaves o lisas líneas o superficies que en rigor no lo son.

Recientemente se ha descubierto que la naturaleza es caótica, sus leyes a veces se comportan de una manera determinista y caótica de manera que un ligero aumento de temperatura en un lugar de la Tierra puede tener consecuencias previsibles pero indeterminadas. La naturaleza es irregular.

Por ese motivo surgió lo que hoy conocemos como geometría fractal, una parte de la matemática que se encarga de encontrar un orden y una regla en ese caos natural igual que Dedekind racionalizó el número irracional.

2.3- ¿Qué es un fractal?

Dar una definición correcta y sencilla de fractal no es fácil.

La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.

Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de autosimilitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego las partes se parecen al todo.

Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye. Por ejemplo:

Sea C una curva cualquiera y k la escala del instrumento de medida. Si el límite para cuando k se hace infinitamente pequeño y C tiende a infinito entonces se considera fractal.

Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.

Algunas definiciones sencillas extraídas de ensayos y libros acerca del tema:

 Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito

 Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita.

Resumen de las propiedades de los fractales:

 Dimensión no entera.

Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.

 Compleja estructura a cualquier escala.

Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.

 Infinitud.

Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.

 Autosimilitud en algunos casos.

Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.

2.4- Concepto de dimensión

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