Caos Y Fractales

TRABAJO # 2 SISTEMAS COMPLEJOS

CAOS Y FRACTALES: NUBES FRACTALES

EXPLICACIÓN DEL SISTEMA

NUBES FRACTALES

Si usted ve de lejos un trozo de costa, con sus golfos, penínsulas y cabos, y se acerca más, podrá ver que quizá dentro del golfo hay otros pequeños golfos, y, dentro de la península, otras pequeñas penínsulas. Y, si se acerca aún más, dentro de cada pequeño golfo, hay más minúsculos golfos, y así podríamos continuar hasta concluir que toda la costa son infinidad de penínsulas, cabos y golfos. Con las nubes ocurre lo mismo. De lejos, observamos una nube, pero, si nos acercamos a ella, apreciamos muchos fragmentos que son nubes independientes. Y cada nube independiente está formada por muchas más nubes que tienen un tamaño menor.

En ocasiones, con situaciones de calmas, con vientos muy débiles, incluso en las capas altas de la troposfera, si hay suficiente humedad, pueden formarse nubes casi inmóviles que van adquiriendo unas formas precisas, casi simétricas. La mínima energía que necesitan para formarse se traduce en suaves velos semitransparentes. Podríamos decir que son nubes que guardan semejanzas a escalas diferentes, o técnicamente nubes fractales. A veces pueden adquirir formas realmente curiosas como la siguiente imagen.

Figura 1.

Sin duda que un estudio interesante es la forma de las nubes, ¿acaso se trata de simples círculos perfectos? Quizas en un análisis con poco nivel de detalle esto tenga sentido, pero en realidad la forma de las nubes está sujeta a muchos otros factores atmosféricos, algunos de los cuales citaremos más adelante. Mediante una representación fractal se obtiene una construcción más aproximada, gracias a los detalles que son atribuidos a los objetos fractales, como por ejemplo un detalle infinito.

Las nubes fractales, hacen parte de los objetos del mundo natural que pueden ser representados mediante la geometría fractal, al igual que las montañas, los árboles, algunas plantas, etc.

¿PORQUÉ LAS NUBES SON FRACTALES?

Existen algunas características que nos permiten considerar las nubes como fractales, como las que mencionamos a continuación:

• Observamos que es algo irregular, cuya forma no es fácilmente identificable.

• Si la ampliamos arbitrariamente, seguirá siendo irregular, ya que es una figura que tiende a mantener su forma original aunque se le cambie de escala.

• A simple vista no es posible diferenciar entre dos imágenes que estén a diferentes escalas de medición.

• De forma explícita o implícitamente, la mayoría de los investigadores asumen que las nubes son fractales debido a la naturaleza fractal de la turbulencia., ya que la turbulencia sigue una ley de potencia, representada por la ley de Kolmogorovs, que establece que la energía cinética Ek es proporcional a la variación de los vientos, Ek ~ K-5 / 3, con k el número de onda , una medida de la escala.

• Las nubes fractales tienen la misma estructura en todas las escalas. Los fractales son autosemejantes, una pequeña sección del fractal se ve como una réplica a menor escala de todo el fractal. Las montañas, nubes, rocas de agregación, galaxias y otros fenómenos afines son similares a los fractales.

• Cuando una nube está llena de agua, empezará a llover. Alternativamente, si hay una mezcla de agua y hielo presente, las precipitaciones se producirán como los cristales de hielo que crecen a expensas de las gotas de agua. De hecho, en general son muchas más las nubes que están lloviendo de lo que se podría pensar, ya que menudo la lluvia se evapora antes de que llegue al suelo. Estos procesos de formación de la lluvia influyen en la estructura de las nubes. Estos campos de la lluvia también han demostrado tener una estructura fractal. Ciertamente, no podemos explicar que directamente por la turbulencia.

• La forma de las nubes es fractal, del mismo modo que la mayoría de los otros objetos en la naturaleza. Veamos primero la evidencia experimental que pueda probar esto. Por lo general, para probar que algo es un fractal es basta con encontrar su dimensión fractal. Para el caso de las nubes es mejor hacerlo mediante el método geométrico. Obviamente, no se lleva a cabo mediante la medición de la nube real, pero se puede simular midiendo su proyección 2D, que es la sombra. Podemos hacer varias mediciones del perímetro de la nube con diferentes aumentos. Si graficamos el logaritmo de la ampliación contra el logaritmo del perímetro, debemos obtener una línea recta con una pendiente positiva.

De acuerdo con el método geométrico para calcular dimensiones fractales tenemos.

Dimensión fractal = Pendiente + 1.

En la mayoría de las nubes la dimensión es 1,164.

EXPLICACIÓN DEL ALGORITMO

Existen algunos algoritmos para generar terrenos fractales aleatorios, mediante los cuales es posible crear increíbles imágenes de paisajes y terrenos. Aunque no nos centraremos en los detalles matemáticos, ni mucho menos de programación intentaremos explicar la estructura del algoritmo.

El mismo algoritmo que es usado para generar los mapas de terrenos, puede ser utilizado para generar mapas de textura y particularmente cielos nublados, formados por nubes fractales que son nuestro objeto de estudio.

Un aspecto importante que se debe tener en cuenta a la hora de generar ya sean terrenos o mapas de textura es la auto-similaridad. Un objeto se dice auto-similar cuando es aumentado o reducido se ve similar o idéntico al objeto inicial. Los terrenos generados mediante estos algoritmos son considerados auto-similares, ya que por ejemplo el borde dentado de una roca rota en la palma de su mano tiene las mismas irregularidades que un risco en el horizonte lejano. Esto nos permite utilizar los fractales para generar un terreno que todavía se ve como el terreno, independientemente de la escala en la que se muestra.

Inicialmente veremos el algoritmo denominado “Desplazamiento del punto medio”, en una dimensión y luego analizaremos un segundo algoritmo que utiliza un tipo de algoritmo de desplazamiento del punto medio en dos dimensiones.

DESPLAZAMIENTO DEL PUNTO MEDIO EN UNA DIMENSIÓN

Este algoritmo trabaja

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