Caos Fractales Y Cosas Raras

UNA situación que nos parece común es medir alguna longitud; como la de una costa, entre dos puntos A y B (figura 1).

Una manera de hacerlo sería medir la longitud de una línea recta que une A con B (figura 2). Sin embargo, la costa es, en general, irregular, por lo que es claro que su longitud será mayor que la de la línea recta entre sus dos puntos extremos. Podríamos ahora tomar como unidad una barra arbitraria de longitud H, por ejemplo. Para medir la longitud de la costa llevaríamos esta barra a lo largo de la costa (figura 3) y contaríamos las veces que la barra cabe a lo largo de la costa desde A hasta B. A este número, denotado por L1, le llamamos la longitud de la costa.

Nos damos cuenta inmediatamente de que tal número en realidad no es el valor de la longitud de la costa, ya que por ejemplo, entre los puntos A y C donde cayó la barra la primera vez, la longitud de ese tramo de costa no es la de la barra.

Para mejorar nuestra medición tomamos otra barra, de menor longitud, digamos de la décima parte de la anterior, H/10, y repetimos el procedimiento obteniendo para la longitud de la costa el número L2. Nuevamente podemos afirmar, por el mismo argumento que dimos arriba, que no es exactamente la longitud de la costa.

Podemos continuar indefinidamente de esta manera, tomando unidades cada vez más y más pequeñas. Intuitivamente esperaríamos que la sucesión de valores que se obtengan para las longitudes de la costa, medidas de esta manera, tendería a alcanzar un valor bien definido que sería la "verdadera" longitud de la costa. Sin embargo, esto no ocurre. De hecho, lo que sucede es que esta sucesión de longitudes aumenta cada vez más y más. Es decir, al seguir el procedimiento indefinidamente, la longitud de la costa que se mide se va haciendo cada vez más y más grande, esto es, ¡la longitud de la costa entre A y B tiende a un valor infinito!

Este resultado sorpresivo se puede explicar como sigue: si primero observamos la costa en un mapa de escala 1/100 000 nos daremos cuenta de que tiene algunas bahías y penínsulas. Si en seguida volvemos a examinar la misma costa, pero ahora en un mapa que tenga la escala de 1/10 000, es decir, en una escala más amplia, aparecerán características que no se veían en el mapa anterior. Así, ahora se ven nuevas bahías y nuevas penínsulas. Si se sigue examinando la costa, pero en un mapa que esté a una escala todavía más grande, digamos de 1/1 000, aparecerán nuevas bahías y penínsulas que no se veían en ninguno de los mapas anteriores. Así podemos continuar indefinidamente.

En consecuencia, al ir cambiando de escala, como van apareciendo más y más bahías y penínsulas pequeñas, éstas contribuyen a la longitud que se está midiendo. Por muy chica que sea la nueva bahía o península, al ir aumentando la escala, en algún momento aparecerá en el mapa y contribuirá a la longitud de la costa.

Si uno cambiara el método de medición de la longitud, también se llegaría a la misma conclusión.

Otro ejemplo de este tipo de situación ocurre al tratar de medir la frontera entre dos países. Se puede dar un argumento análogo al que presentamos arriba para la bahía y se llega a la misma conclusión: ¡la frontera entre dos países

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