Los Fractales

LOS FRACTALES

Es complicado dar una definición general de fractales porque muchas de estas definiciones no se pueden aplicar a todas las familias de fractales existentes. Sin embargo, todos los fractales tienen algo en común, ya que todos ellos son el producto de la iteración, repetición, de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación aparente extraordinaria. Es decir que cada porción del objeto tiene la información necesaria para reproducirlo todo, y la dimensión fractal no necesariamente entera.

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.1 El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A menudo, los fractales son semejantes a sí mismos; poseen la propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser visualizada como una réplica a escala reducida del todo.

La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero muchas veces entre ellos. Los fractales son una idealización. Los objetos reales no tienen la infinita cantidad de detalles que los fractales ofrecen con un cierto grado de magnificación.

CARACTERISTICAS:

Su principal característica es que tienen una dimensión fraccionaria y una estructura geométrica recursiva. Además, su área o superficie es finita, pero su perímetro o longitud es infinita. Su complejidad es también infinita.

La generación de un fractal puede hacerse de muchas maneras y presentan detalle a toda escala, usando algoritmos o formulas sencillas y muy pocos datos.

Otra característica a destacar es la de su autosimilitud a distintas escalas: siempre hay una similitud entre las distintas partes de una misma figura fractal aunque estas estén muy distantes. Cada porción del fractal puede visualizarse como un todo, ya que es su réplica.

Los fractales que existen en la naturaleza tienden a ser irregulares y son autosimilares, sólo en sentido estadístico; esto es, si tomamos un conjunto suficientemente grande de objetos de la misma clase y amplificamos una porción de alguno de ellos, es posible que no sea idéntico al original, pero seguramente sí será similar a algún otro miembro de la colección.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

 Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

 Posee detalle a cualquier escala de observación.

 Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).

 Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.

 Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

La geometría tradicional, la euclídea, es la rama de la matemática que se encarga de las propiedades y de las mediciones de elementos tales como puntos, líneas, planos y volúmenes. La geometría euclídea también describe los conjuntos formados por la reunión de los elementos más arriba citados, cuyas combinaciones forman figuras o formas específicas. Sin embargo, las formas encontradas en la naturaleza, como montañas, franjas costeras, sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales, copos de nieve, y un sinnúmero de otros objetos no son fácilmente descriptos por la geometría tradicional. La geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las complicadas formas de la naturaleza.

DIFERENCIAS ENTRE LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA Y LA FRACTAL

EUCLÍDEA FRACTAL

Tradicional (más de 2000 años) Moderna (aprox. 10 años)

Dimensión entera Dimensión fractal

Trata objetos hechos por el hombre Apropiada para formas naturales

Descripta por fórmulas Algoritmo recursivo (iteración)

IMPORTANCIA

Los fractales son hoy en día una herramienta insustituible en el trabajo de muchos físicos, químicos, matemáticos. Tienen un gran potencial interdisciplinar pudiendo trabajar con ellos distintas disciplinas coordinadamente.

Nos permiten observar que aun dentro de la enorme complejidad existen ciertos patrones a seguir. Ejemplo: una roca es similar a la montaña de la que forma parte; una rama tiene la misma estructura que la del tronco del que nace; como si la decisión hubiera sido repetir la misma forma a diferentes escalas dentro de un mismo objeto, asegurando la preservación de una copia del original a cualquier nivel de amplificación; como si se pensara en generar el máximo nivel de detalle con el mínimo costo en el diseño. Muestras vivas de este juego de la naturaleza en el que el mismo patrón de crecimiento se manifiesta a diferentes escalas podemos verlas en un helecho, un cuerno de ciervo, un brócoli o una coliflor, nada nos impide especular sobre las propiedades de helechos "imaginarios" que aun a nivel microscópico exhiben características geométricas semejantes a las de la planta completa.

Su importancia crece, porque ellos son capaces de resolver y llegar allí donde no puede hacerlo la geometría euclídea. Gracias a ellos hemos podido identificar innumerables manifestaciones naturales ya que su geometría está presente en todo. La dimensión fraccionaria fractal permite medir el grado de escabrosidad o discontinuidad de un objeto, siempre que presente un grado de irregularidad constante a diferentes escalas por lo que al final resulta una irregularidad regular. Han revolucionado la tecnología de la generación de imágenes. Por ser mucho más que interesantes curiosidades matemáticas destinadas a alimentar nuestra fantasía. Gracias al descubrimiento de los fractales y a los ordenadores podemos observar la naturaleza sin movernos del sitio, quizás sea esta la causa de que en los últimos años haya crecido su popularidad y de ahí

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