Funciones Reales
Enviado por littzy • 21 de Octubre de 2012 • 2.464 Palabras (10 Páginas) • 649 Visitas
Concepto de función
Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.
f : D
x f(x) = y
El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.
Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego
y= f(x)
Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).
Estudio del Dominio de una función
Dominio de la función polinómica entera
El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.
Dominio de la función racional
El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).
Dominio de la función irracional de índice impar
El dominio es R.
Dominio de la función irracional de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Dominio de la función logarítmica
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.
Dominio de la función exponencial
El dominio es R.
Dominio de la función seno
El dominio es R.
Dominio de la función coseno
El dominio es R.
Dominio de la función tangente
Dominio de la función cotangente
Dominio de la función secante
Dominio de la función cosecante
Dominio de operaciones con funciones
Gráfica de funciones
Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.
Composición de funciones
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].
f o i = i o f = f
Función inversa o recíproca
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
f o f -1 = f -1 o f = x
Cálculo de la función inversa
1Se escribe la ecuación de la función en x e y.
3Se intercambian las variables.
2Se despeja la variable x en función de la variable y.
Tasa de variación
El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un punto a otro.
t.v.= f(x+h) - f(x)
Función estrictamente creciente
f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
La tasa de variación es positiva.
Función creciente
f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
La tasa de variación es positiva o igual a cero.
Función estrictamente decreciente
f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
La tasa de variación es negativa.
Función decreciente
f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
La tasa de variación es negativa o igual a cero.
Función acotada superiormente
Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.
El número k se llama cota superior.
Función acotada inferiormente
Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′ .
El número k′ se llama cota inferior.
Función acotada
Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente.
k′ ≤ f(x) ≤ k
Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
Mínimo absoluto
Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
Máximo y mínimo relativo
Una función f tiene un máximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.
Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.
Simetría respecto del eje de ordenadas
Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:
f(-x) = f(x)
Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.
Simetría respecto al origen
Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:
f(-x) = -f(x)
Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.
Funciones periódicas
Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:
f(x) = f(x + z T)
Si tenenos una función periódica f(x) de periodo T, la función g(x) = f(kx) tiene de periodo:
1.- Definición de función.
De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Posteriormente veremos que los números que son aceptados por la máquina compondrán el dominio de definición de la función y el conjunto de elementos de salida compondrán el recorrido de la función.
Ejemplos
1.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la expresión que nos relacionas ambas variables es .
Observa que dependiendo del valor del lado del cuadrado vamos a obtener distintos valores en el área del mismo. Así, aparece una variable que no depende de nada (variable independiente: la l) y otra que si depende
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