Funciones y sucesiones

Tarea 1

Funciones y sucesiones.

Presentado por:

Héctor Andrés Mateus

Miguel Leonardo Martínez Torres

Frank Stiven Rodríguez

Grupo:

100410_460

Tutor

Alejandro Moreno

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

Calculo diferencial.

Marzo del 2019

Introducción

En el presente trabajo se detallarán los diferentes tipos de funciones matemáticas, se verá la relación que existe entre dos variables (x, y) de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y.

También veremos las sucesiones que son un conjunto ordenado de números.

• Ejercicios de la opción estudiante 1, desarrollado por el estudiante 

                                Héctor Andrés Mateus Moreno

SOLUCIÓN

• Ejercicio 1

Determine el rango y el dominio de la siguiente función:

[pic 2]

Paso 1: Recordemos que el dominio de una función son todos aquellos valores de  en los cuales estos tienen una imagen en . Para determinar el dominio de esta función se debe reconocer que esta es una función racional, y que para ello solo nos interesa descubrir cuándo el denominador de la función es cero (0) puesto que recordemos que este tipo de función, están dadas de la forma  donde   (diferente de cero) por ser una expresión fraccionaria y la división en cero no está definida para el conjunto de los reales.  Entonces en este caso se debe determinar para qué valores de  la expresión   se hace cero, ya que es ahí en esos valores en donde  no tendrá valor en  y entonces se deben excluir del dominio común de una función . Para eso se debe solucionar la ecuación [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Paso 2: El valor encontrado se debe excluir del conjunto de los números reales para definir el nuevo conjunto de dominio.

  (Todos los x que pertenecen a los números reales y que son diferentes de -2, pues es este el valor que hace que la expresión x+2 sean cero)[pic 16]

• Ejercicio 2

Proponga una gráfica que describa la relación entre dos variables con una de ellas describiendo el tiempo en un término no menor a 3 años con valores mensuales, de alguna situación aplicable a su contexto profesional (administración, Ingeniería, Agronomía, Etc.).  De acuerdo con lo propuesto deberá identificar:

• Las variables dependiente e independiente.
• Valor máximo y mínimo.
• Rango y Domino de la función

Paso 1: Para realizar la gráfica es necesario establecer las dos variables dependientes (pasajes vendidos) e independiente (AÑO).

Paso 2: Usando Excel se insertar una tabla con los valores de las variables.

Paso 3: Luego se selecciona la información de la tabla y se inserta una gráfica de línea.

[pic 17]

Paso 4: Identificamos el punto máximo (2017, 221000) y (2017, 240500) y mínimo (2019, 19090) y (2019, 18000).

Paso 5: Identificamos el dominio y rango, que en este caso ambas funciones se pueden ajustar al comportamiento de una función lineal, entonces tanto el dominio como el rango en ambas funciones son los números reales.

• Ejercicio 3

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A y B. Graficar las dos rectas en GeoGebra encontrando su punto de intersección y verificando el ángulo entre ellas

; [pic 18][pic 19]

Para saber si una recta es perpendicular a otra, se debe conocer la pendiente de ambas, si estas son opuestas entre sí, entonces las rectas son perpendiculares.

Paso 1: Se debe encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(0,-8) y B(12,4) usando la expresión  [pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Paso 2: Se debe plantear la pendiente para la nueva recta que pase por el punto C(-8,10) y que sea perpendicular a la que pasa por los puntos A y B. Esta pendiente debe ser opuesta a la que se encontró en el paso anterior.   La nueva pendiente es entonces  [pic 24][pic 25]

Paso 3: Encontramos la ecuación de la recta conociendo el punto C(-8,10) y la pendiente

 m=-1  usando la expresión [pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Demostración en Geogebra

[pic 32]

• Ejercicio 4

Si  evaluar:    [pic 33][pic 34]

Paso 1: reemplazamos el valor de   por  en la función f(x)[pic 35][pic 36]

[pic 37]

Paso 2: resolvemos los productos, cocientes y factorizamos para simplificar la nueva expresión.

   Sumamos las dos expresiones fraccionarias  [pic 38][pic 39]

  Restamos las dos expresiones  [pic 40][pic 41]

   De esta expresión se puede factorizar el término [pic 42][pic 43]

  Simplificar la expresión eliminando de arriba y abajo el termino [pic 44][pic 45]

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