GEOMETRÍA ROTACIÓN

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE

CENTRO DE NIVELACIÓN CONTINÚA

NIVELACIÓN DE CARRERA

NOMBRE: PEDRO SANCHEZ                                        

CURSO: 312- TV7

FECHA: 07/02/2018

• TRANSFORMACIÓN DE EJES COORDENADOS
• ROTACIÓN
• DEMOSTRACION
• FORMULAS
• APLICACIÓN

Rotación de ejes coordenados.-                                                                    

Cambio de la orientación de los ejes de referencia mientras se conserva el origen. La principal razón para rotar los ejes es que una ecuación dada es mucho más simple en el nuevo sistema de coordenadas que en el sistema original.

Así que si un P está dibujado en los ejes coordenadas x, y cuando rotamos los ejes x, y un ángulo θ este punto pierde sus propiedades como son la distancia del punto PP al origen al igual que las componentes (x, y) cambian sus valores, pero las propiedades del punto PP siguen siendo la misma en los ejes coordenados x′ y y′ que representan los ejes x, y después de ser rotados una ángulo θ.

[pic 1]

La siguiente gráfica nos permitirá ilustrarnos para deducir una relación entre (x,y) y (x′,y′).

[pic 2]

Demostración.-

Después de rotar los ejes x,y un angulo θ, el punto (x,y) se transforma en (x′,y′).
Si OB=OE+EB, pero OE= u y EB=v por tanto OB=u+v=x′, así que u+v=x′, por lo que despejando u+v=x′ sabemos que u=x′−v, así que el segmento OC es igual ucosθ=x.
Por tanto si sustituimos u por x′−v y encontrando el valor de v tendremos una relación entre x, x′, y′ que es el objetivo, todo el proceso se muestra continuación.

[pic 3]

[pic 4]

Por tanto después de rotar xy un ángulo θ, x, x′, y′ están relacionado por.
[pic 5]

Ahora vamos por una relación entre y, x′, y′.
En la gráfica de más arriba vemos que  OD=DE+EO y como DE= s y EO=w entonces OD= s+w pero   s+w=y y w=ucosθ, donde u=x′-y′tanθ, para obtener w tomamos el coseno del ángulo EAB que es igual a θ y despejamos w, luego sustituimos s y w en s+w=y, todo este proceso se muestra a continuación. 

[pic 6]

[pic 7]
[pic 8]

Por lo que después de rotar los ejes xy un ángulo θ, y, x′ y y′ están relacionados por la expresión matemática.
[pic 9]

Formulas.-

Así que en conclusión si rotamos los ejes xy un ángulo θ, el punto (x,y) y (x′,y′) están relacionados mediante las expresiones.
[pic 10]

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