Guía Teórica Práctica 4 Transformada de Laplace

Guía Teórica  Práctica 4

Transformada de Laplace

Definición: Sea  una función continua a trozos y de orden exponencial c. Definimos y denotamos la transformada de Laplace por:[pic 1]

[pic 2]

Siempre que la integral converja.

Si  decimos que la función f(t) es la transformada inversa de Laplace[pic 3]

Propiedades:

• La Transformada de Laplace y su inversa son  transformaciones Lineales, esto es:  y , para todo .[pic 4][pic 5][pic 6]

• Sea  una función continua a trozos y de orden exponencial c, entonces  siempre existe.[pic 7][pic 8]

• Si  entonces  .[pic 9][pic 10]

• Si f(t) y g(t) son funciones continuas y de orden exponencial tales que entonces [pic 11][pic 12]

Transformada de funciones básicas

A continuación presentamos la transformada de Laplace  de funciones básicas:

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Ejercicios propuestos

1. Determine, la transformada de Laplace o la inversa  , según sea el caso.[pic 17]

a.  [pic 18]                               b. [pic 19]

c. [pic 20]                   d. [pic 21]

e.                     f. [pic 23][pic 22]

g. [pic 24]                              h. [pic 25]

i. [pic 26]                          j. [pic 27]

k.             l- [pic 28][pic 29]

m. [pic 30]                       n. [pic 31]

ñ. [pic 32]                                o.        [pic 33]

1. Hallar la transformada de Laplace de la siguiente función

[pic 34]

1. Aplicando solamente la transformada de una derivada demuestre que [pic 35]     

1. Resuelva las siguientes ecuaciones integro - diferenciales

• [pic 36]
• [pic 37]
• [pic 38]

• [pic 39]
• [pic 40]
• [pic 41] positivo. Y [pic 42]

1. Usando transformada de Laplace, calcule las siguientes integrales

1. [pic 43]   
2. [pic 44] 
3. [pic 45]

1. Obtenga la transformada de Laplace de la función

[pic 46]

1. Usando técnicas de transformada de Laplace calcule [pic 47]

1. Determine la transformada inversa de [pic 48]

1. Demuestre que [pic 49] 

1.  Sabiendo que [pic 50] y [pic 51], resuelva el problema de valores iniciales [pic 52], donde [pic 53] 

1.  Aplicando la transformada de Laplace, Calcular, sin resolver la integral

[pic 54]           

1.  Resuelva la ecuación diferencial

[pic 55]

       Encuentre, además la solución que verifica la condición de frontera [pic 56].        

1.  Considere el circuito RLC cuya ecuación diferencial asociada es:

[pic 57]

      Aplicando transformada de Laplace, calcule el voltaje [pic 58] por el condensador y la corriente  si [pic 59] es la función definida por[pic 60] con . Las condiciones iniciales son [pic 62], [pic 63] y las constantes quedan dadas por [pic 64]. Dibuje la función   [pic 65]    [pic 61]

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