Hidrologia

INTRODUCCION

El presente informe el cual pretende entregar una metodología que permita predecir con cierta probabilidad los valores que puede tomar una variable hidrológica, en función de la información de que se disponga, planteándose lo anterior, en valores máximos probables, aplicando la ley de distribución de Gumbel, y asociado esto, a algunas pruebas de bondad de ajuste.

Se plantea la utilización de la ley de distribución de Gumbel, dado que ella ha demostrado poseer una adecuada capacidad de ajuste, a valores máximos de caudales, precipitación en distintos períodos de tiempo, aportaciones anuales, etc. Además, se entrega una prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov, un cálculo del coeficiente de determinación, y ello asociado a un ejemplo práctico.

En la determinación de valores extremos (caudales máximos o mínimos, niveles máximos o mínimos, etc.) necesarios para el análisis y solución de muchos problemas relacionados con la ingeniería hidráulica, resulta común emplear las distribuciones probabilísticas más usuales para el estudio de problemas hidrológicos. Así, a partir de un registro histórico de valores extremos, se infiere aquellos valores máximos o mínimos asociados a un cierto periodo de retorno de diseño.

Es relativamente común apreciar estudios en los cuales, se haya hecho uso de distribuciones tales como: Gumbel, Normal o Log Pearson tipo III, para estimar los valores extremos asociados a un periodo de retorno seleccionado. En menor medida se observara el empleo de distribuciones tales como: Log Normal de 2 parámetros, Log Normal de 3 parámetros o la distribución Gamma de 2 ó de 3 parámetros.

En este sentido cabría preguntarse:

¿Qué ha llevado al especialista a seleccionar una determinada distribución probabilística para el análisis efectuado?

¿Se ha verificado que la distribución escogida sea la que efectivamente mejor se ajusta o representa a la serie histórica de datos?

¿Cuál de las distribuciones disponibles debió haberse empleado en verdad en la estimación requerida de valores extremos?

Estas preguntas nos conducen a la necesidad de revisar los temas relacionados con las pruebas de bondad de ajuste.

OBJETIVO

El objetivo de esta prueba de bondad de ajuste es señalar y determinar si los datos estudiados o mediciones muéstrales provienen de una población que tiene una distribución teórica determinada.

Determinar los caudales de retorno de 10, 25 y 50 años, de los datos dados.

Determinar el método más confiable.

MARCO TEORICO

Métodos Estadísticos

Los métodos estadísticos, se basan en considerar que el caudal máximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribución. Para utilizarlos se requiere tener como datos, el registro de caudales máximos anuales, cuanto mayor sea el tamaño del registro, mayor será también la aproximación del cálculo del caudal de diseño, el cual se calcula para un determinado periodo de retorno.

Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseño, se cuenta con pocos años de registro, por lo que, la curva de distribución de probabilidades de los caudales máximos, se tiene que prolongar en su extremo, si se quiere inferir un caudal con un periodo de retorno mayor al tamaño del registro. El problema se origina, en que existen muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y que sin embargo, difierne en los extremos. Esto ha daod lugar a diversos métodos estadísticos, dependiendo del tipo de distribución que se considere.

Gumel considera una distribución de valores extremos.

En forma práctica se recomienda escoger varias distribuciones y ver cual se ajusta mejor; esto requiere que se tengan los datos necesarios para poder aplicar alguna prueba estadística, como la prueba de bondad de ajuste.

Prueba de Kolmogorov - Smirnov

Este procedimiento es un test no paramétrico que permite establecer si dos muestras se ajustan al mismo modelo probabilístico (Varas y Bois, 1998).

Es un test valido para distribuciones continuas y sirve tanto para muestras grandes como para muestras pequeñas (Pizarro et al, 1986).

Así mismo, Pizarro (1988), hace referencia a que, como parte de la aplicación de este test, es necesario determinar la frecuencia observada acumulada y la frecuencia teórica acumulada: una vez determinadas ambas frecuencias, se obtiene el máximo de las diferencias entre ambas.

El estadístico Kolmorov – Smirnov, D, considera la desviación de la función de distribución de probabilidades de la muestra P(x) de la función de probabilidades teóricas, escogida Po(X) tal que:

Dn = max I P(x) – Po(x) I

La prueba requiere que el valor Dn calculado con la expresión anterior sea menor que el valor tabulado Dα para un nivel de significancia (o nivel de probabilidad) requerido.

El valor critico Dα de la prueba se obtiene de la tabla mostrada, en función del nivel de significancia α y el tamaño de la muestra n.

Tamaño de la

muestra N Nivel de significancia “”.

0.20 0. l0 0.05 0.01

5 0.45 0.51 0.56 0.67

10 0.32 0.37 0.41 0.49

15 0.27 0.30 0.34 0.40

20 0.23 0.26 0.29 0.36

25 0.21 0.24 0.27 0.32

30 0.19 0.22 0.24 0.29

35 0.18 0.20 0.23 0.27

40 0.17 0.19 0.21 0.25

45 0.16 0.18 0.20 0.24

50 0.15 0.17 0.19 0.23

N>50

El Estadístico ∆, tiene su función de distribución de probabilidades.

Si ∆0 es un valor crítico para un nivel de significancia “”, se tiene:

P (∆ ≥ ∆0) =  … 2 y

P (∆ < ∆0) = 1 -  … 3

Para la aplicación del test señalado, es necesario determinar la frecuencia observada acumulada.

Para la frecuencia observada en el caso especial de Gumbel, se ordena la información de menor a mayor y se aplica:

F=n/(N+1)

donde:

Fn (x): frecuencia observada acumulada.

n: N° total de orden

N: N° total de datos.

En el caso de la frecuencia teórica acumulada, ésta se determina a través de la función de Gumbel.

Una vez determinadas ambas frecuencias, se obtiene el supremo de las diferencias entre ambas, en la i-ésima posición de orden, que se denomina D.

D= Sup | Fn (x)i - F (x)i |

Luego, asumiendo un valor de significancia, se recurre a la tabla de valores críticos de D en la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov - Smirnov, y considerando

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