INTEGRALES CURVILÍNEAS (O DE LÍNEA)

INTEGRALES CURVILÍNEAS (O DE LÍNEA)

• Longitud de un arco de curva

• Curva rectificable

Recordamos que una curva es el conjunto imagen de una función vectorial continua.

La función es la  trayectoria. Si la función es inyectiva, la curva es simple.

Consideremos : [a,b] → Rm con m >1/  continua e inyectiva. Una partición regular en [a,b] mediante a = t0 1 <....m=b, introduce una partición en la curva C , asociada a . Si se consideran los puntos determinados sobre sobre C , la longitud de la poligonal inscripta que queda formada  es

                                          SP =[pic 1]

Llamamos curva rectificable a aquélla en la que el conjunto de los SP está acotado superiormente.

Llamamos longitud de arco al supremo de ese conjunto

• Longitud de un arco de curva[pic 2]

Sea : [a,b] → R3 /  (t)=(x(t);y(t);z(t))  con derivadas continuas

[pic 3]

[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8][pic 9][pic 10]

 [pic 11][pic 12][pic 13]

                                                                    T.del V. Medio en una variable  ( ti-1 <αi < ti ,

                                                                                         ti-1 <βi  < ti[pic 14]

                                                                                          ti-1 <γi  < ti)

                                [pic 15][pic 16][pic 17]

                                                    La longitud  del arco es:[pic 18]

                                                              s = [pic 19]        

Si la función tiene sus derivadas continuas en [a,b], resulta:

s=

Notación: s : arco

               ds: diferencial arco                

Luego, s’(t)=     y    ds =.dt

• Reparametrización de una trayectoria

Consideramos una trayectoria :[a1,b1]→R3  y una función escalar biyectiva h ∈ C1 /

 h:[a,b] → [a1 ,b1 ] .

 Llamamos reparametrización de   a la composición [a,b] →R3

OBSERVACIÓN: Se desprende de la definición que la reparametrización convierte extremos en extremos, es decir h(a)= a1  y h(b) = b1  o bien: h(a)= b1  y h(b) = a1.

En el primer caso la reparametrización preserva la orientación mientras que en el segundo la cambia. Esto significa que una partícula que  describe  puede hacerlo o no en la misma dirección que otra que describa .

 En el gráfico se muestra  una reparametrización que preserva la orientación [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

[pic 42]

[pic 43][pic 44]

Y en este otro una que invierte la orientación:

[pic 45]

                             [pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

[pic 56][pic 57][pic 58]

[pic 59]

                                                                  [pic 60][pic 61][pic 62]

                                                                                      [pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]

                                                                                                            [pic 67][pic 68]

Si C es la imagen de ([a1 ;b1])  y h preserva la orientación, entonces ( 0 h) (t) irá desde (a1) hasta (b1) mientras t va desde a hasta b; y si h invierte la orientación , ( 0 h) (t) irá desde (b1) hasta (a1) mientras t va desde a hasta b

[pic 69]

                                        [pic 70]

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