Integrales De Linea

CAMPO ESCALAR

Un Campo Escalar es una función f:R^n→R, que asigna a cada valor de r un único valor de f(r)

A una función como F(x, y) se la llama campo escalar, porque indica para cada punto (x, y) del plano, cuál es el valor de una magnitud numérica (o escalar) definida sobre el plano.

Por ejemplo: Sea M=f(x,y,z) y se quiere definir el Campo escalar distancia al origen de Coordenadas, entonces M=√(x^2+y^2+z^2 ), dado un punto en el espacio se tiene una magnitud para ese punto. Para el punto P(1,1,1) la magnitud de M es √3

La representación grafica de un campo escalar se puede realizar por medio de superficies de nivel.

CAMPO VECTORIAL

Un campo vectorial es una función A: R^n→R^n, que asigna a cada valor de r un único valor de A(r).

La representación grafica de los campos vectoriales se realiza mediante líneas vectoriales.

OPERADOR.

Un operador, O ̂ , es un objeto que transforma una función f en otra función h, O ̂f=h

Operador Gradiente: Si f(x,y,z) es una campo escalar, se puede formar un vector con sus derivadas parciales, llamado gradiente de f

∇f(x,y,z)=Grad.f(x,y,z)=∂f/∂x i ̂+∂f/∂y j ̂+∂f/∂z k ̂

donde se reconoce el operador ∇=∂/∂x i ̂+∂/∂y j ̂+∂/∂z k ̂ denominado operador nabla

Operador Divergencia: Si F es una función vectorial de las variables x,y,z. La Divergencia de F se define como el producto escalar del operador gradiente por la función vectorial con compontes F_x+F_y+F_z :

∇.F(x,y,z)=div F=(∂/∂x i ̂+∂/∂y j ̂+∂/∂z k ̂ ).(F_x+F_y+F_z )

La divergencia de una función vectorial es escalar.

Operador Rotacional: El rotacional de un campo vectorial F se define como el producto cruz de operador gradiente por F(x,y,z)

∇×F(x,y,z)=rotF(x,y,z)=det[■(i ̂&j ̂&k ̂@∂/∂x&∂/∂y&∂/∂z@F_x&F_y&F_z )]

=[(∂F_z)/∂y-(∂F_y)/∂z] i ̂+[∂F/∂z-(∂F_z)/∂x] j ̂+[(∂F_y)/∂x-(∂F_X)/∂y] k ̂

El rotacional de F es un campo vectorial. Si F representa un campo de velocidad en un fluido, se puede decir que el rotacional es una medida de la tendencia de giro en un elemento de volumen sobre si mismo en cada punto del fluido; si ∇×F(x,y,z)=0, indica que en el fluido no hay "pequeños remolinos" o no hay desplazamiento relativo entre las capas vecinas de fluido.

Operador Laplaciano:

div(grad f)=∇.(∇f)=∇^2 f

siendo el operador laplaciano en coordenadas cartesianas

∇^2=∂/(∂x^2 )+∂/(∂y^2 )+∂/(∂z^2 )

Identidades Vectoriales, donde f y g son campos escalares y F y G son campos vectoriales

1.- ∇(f+g)=∇f+∇g

2.- ∇(cf)=c∇f, c constante

3.- ∇(fg)=f∇g+g∇f

4.- ∇(f⁄g)=((g∇f-f∇g))⁄g^2

5.- div(F+G)=divF+divG

6.- rot(F+G)=rotF+rotG

7.- div(fF)=fdivF+F.∇f

8.- div(F×G)=G∙rotF-F∙rotG

9.- divrotF=0

10.- rot(fF)=f∙rot F+∇f×F

11.- rot∇f=0

12.- ∇^2 (fg)=f∇^2 g+g∇^2+2(∇f∙∇g)

13.- div(∇f×∇g)=0

14.- div(f∇g-g∇f)=f∇^2 g-g∇^2 f

El operador Laplaciano también se puede aplicar a un campo vectorial de la forma F=(M,N,R) por sus componentes:

∇^2 F=(∇^2 M,∇^2 N,∇^2 R)

Campos Especiales:

1.- Un Campo Vectorial F es irrotacional, conservativo o derivado de un potencial en una cierta región del espacio, si en todos los puntos de dicha región rot F=0

2.- Un Campo Vectorial F es de gradiente en una cierta región del espacio, si en todos sus puntos coincide con el vector gradiente de un campo escalar U, es decir, F=grad U.

3.- Un campo vectorial F es solenoidal en una cierta región del espacio, si en todos sus puntos divF=0

4.- Un campo vectorial es armónico en una cierta región del espacio, si en todos los puntos de dicha región es irrotacional y solenoidal, es decir rotF=0 y divF=0

Calculo de función Potencial:

1.- Sea F=(2x sin⁡y ) i ̂+(x^2 cos y-3y^2 ) j ̂ Calcule la función Potencial que la origino.

Solución:

1.- Identificando{█(M(x,y)= 2x sin⁡y =∂f/∂x (1)@N(x,y)=x^2 cos y-3y^2=∂f/∂y (2) )┤

2.- Verificar que el rotF=0, es decir que ∂M/∂y=∂N/∂x

∂M/∂y=2x cos⁡〖y; ∂N/∂x=2x cos⁡y 〗⇒∂M/∂y=∂N/∂x;F es un campo conservativo

Es decir existe f con F=∇f.

3.- Integrando M(x,y) con respecto de x

f(x,y)=∫_x▒〖2x sin⁡y dx=2 x^2/2 sin⁡〖y+G(y)=x^2 sin⁡〖y+G(y)〗 〗 〗 (3)

3.- Derivar el resultado obtenido respecto de y

∂f/∂y=x^2 cos⁡〖y+G^℩ (y)〗 (4)

4.- igualando los ∂f/∂y (2)=(4)

x^2 cos⁡〖y+G^℩ (y)〗=x^2 cos y-3y^2⇒G^℩ (y)=-3y^2

5.- Integrando ∫▒〖G^℩ (y) dy⇒G(y)=-y^3+c〗

6.- Sustituyendo en (3)

f(x,y)=x^2 sin⁡〖y-〗 y^3+c

2.- Sea A ⃗=(4xy-3x^2 z^2 ) i ̂+2x^2 j ̂-2x^3 zk ̂.

Determine si el campo vectorial es conservativo

De ser conservativo encuentre la funcion potencial

Solución:

a) Para que el campo sea conservativo se debe cumplir que: rot A ⃗=0, es decir que

∂R/∂y=∂N/∂z; ∂M/∂z=∂R/∂x; ∂N/∂x=∂M/∂y

Definiendo: {█(M=4xy-3x^2 z^2@N=2x^2@R=-2x^3 z)┤

∂M/∂z=-6x^2 z = ∂R/∂x; ∂M/∂y=4x=∂N/∂x; ∂R/∂y=0= ∂N/∂z⇒Campo Conservativo

b) Calculo de la funcion Potencial

{█(M=4xy-3x^2 z^2=∂f/∂x (1)@N=2x^2=∂f/∂y (2)@R=-2x^3 z=∂f/∂z (3) )┤

1.- Integrando M(x,y,z) con respecto de x

f(x,y,z)=∫_x▒〖 (4xy-3x^2 z^2 )dx=4 x^2/2 y-3 x^3/3〗 z^2+H(y,z)=2x^2 y-x^3 z^2+H(y,z) (4)

2.- Derivando (4) respecto de y

∂f/∂y=2x^2+∂H(y,z)/∂y (5)

3.- Igualando los ∂f/∂y

2x^2=2x^2+∂H(y,z)/∂y⇒∂H(y,z)/∂y=0 (6)

4.- Integrando (6) respecto de y, ∫_y▒〖∂H(y,z)/∂y.dy ⇒H(y,z)=G(z) (7) 〗

5.- sustituyendo (7) en (4)

f(x,y,z)=2x^2 y-x^3 z^2+G(z) (8)

6.- Derivando (8) respecto de z

∂f/∂z=-2x^3 z+dG/dy (9)

7.- igualando los ∂f/∂z, (3) con (9)

-2x^3 z==-2x^3 z+dG/dy⇒dG/dy=0

8.- Integrando ∫▒〖G^℩ (y) dy⇒G(y)=c〗

9.- Sustituyendo en (8)

f(x,y,z)=2x^2 y-x^3 z^2+c⇒FUNCION POTENCIAL

TRABAJANDO INICIALMENTE

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