Integrales de línea: Trabajo, circulación y flujo

Integrales de línea: Trabajo, circulación y flujo

Integrales de línea

A diferencia de la forma general de integral que ya habíamos visto, en este caso se integra sobre una curva que llamaremos “C” en vez de un intervalo (a,b).

Primero parametrizamos como:

r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k      [pic 1]

En este caso veremos la curva solo en el plano X, Y, lo que tendríamos:

f(x, y, z )  donde z=0[pic 2]

La curva está dividida en varias partes, cada una de estas partes se le conoce como longitud de arco  mientras mas intervalos existan dentro de la curva la longitud de arco será menor, por lo tanto:[pic 3]

Sn=          si       n→      [pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

Para encontrar a ds derivamos la ecuación de la longitud de arco

s(t)=     al derivar obtenemos  ds=|v(t)| dt[pic 8]

Y |v| se obtiene de:

|v|=[pic 9]

Al evaluar sobre la integral obtenemos que:
[pic 10]

Aditividad

Este tipo de integrales tienen la característica de la aditividad, lo cual es que si C está formada por un numero finitos de curvas suaves C1, C2,… Cn, entonces la integral es la suma de las integrales de C sobre las curvas que lo conforman

[pic 11]

Ejemplo:
Trayectoria del origen a (1,1,1) que es la unión C1 y C2

Integrar sobre C1C2[pic 12][pic 13]

C1 = r(t) = ti + tj                0[pic 14]

|v| = [pic 15]

C2 = r(t) = ti + tj + tk         0[pic 16]

|v| = [pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Integrales de línea en el plano

Si C es suave en (x, y)    r(t) = x(t)i + y(t)j         [pic 21]

Se genera una superficie cilíndrica al mover una recta a lo largo de C, ortogonal al plano si z = P (x, y)  entonces la grafica de f es una superficie arriba del planp, siguiendo la curva C creando como una pared o muralla.[pic 22]

A partir de la definición:

      donde      [pic 23][pic 24]

Vemos que la integral de la pared es representada por [pic 25]

Integrales de línea de campos vectoriales

DEFINICIÓN

Sea F un campo vectorial con componentes continuos definidos a lo largo de la curva suave C parametrizada por r(t), a ≤ t ≤ b. Entonces, la integral de línea de F a lo largo de C es:

[pic 26]

Para evaluar la integral de línea F = Mi + Nj + Pk a lo largo de la curva [pic 27]

1. Igualar  de la curva r(t).[pic 28]
2. Sustituir las funciones  [pic 29]
3. Calcular la derivada del vector r(t) [pic 30]
4. Evaluar la integral de línea con respecto al parámetro t, a ≤ t ≤ b.

[pic 31]

Integrales de línea con respecto a los ejes coordenados x,y,z.

En ocasiones resulta más útil escribir al integral de línea de una función escalar con respecto a las coordenadas, como:

[pic 32]

Lo que aplicando el método de evaluación de la integral de línea obtenemos

[pic 33]

Trabajo realizado por una fuerza sobre una curva en el espacio

DEFINICIÓN

Sea C una curva suave prametrizada por r(t),a ≤ t ≤ b, y F un campo de fuerza continuo sobre una región que contiene a C. De esta forma, el trabajo realizado al mover un objeto desde el punto A = r(a) al punto B = r(b) a lo largo de C es:

[pic 34]

[pic 35]

INTEGRALES DE FLUJO Y CIRCULACIÓN

DEFINICIÓN

Sobre campos escalares y vectoriales se pueden definir integrales de línea, de superficie y de volumen. En particular conviene resaltar por su importancia la circulación de un campo vectorial a lo largo de un camino y su flujo a través de una superficie.

Si existe un campo vectorial, podríamos imaginar que hay un fluido en este campo, puede ser aire, agua, etc. De tal modo que si pones dentro una superficie curva y queremos sabes que cantidad de fluido pasa a través de esta, necesitamos integrales de flujo, las cuales se explicarán a continuación.

[pic 36][pic 37]

Está claro que la cantidad depende de la orientación de la superficie; si la superficie está orientada de forma paralela al campo, ni una sola gota de fluido podría atravesarla. En cambio, si la orientación es perpendicular al flujo, éste será máximo: [pic 38]

• Circulación: si γ representa una curva en el espacio que va del punto A al B, se denomina circulación del campo F entre A y B a lo largo de γ a la expresión[pic 39]

[pic 40][pic 41]

siendo un elemento gen érico de una partición de la curva ᵞ en N segmentos orientados.

La curva γ puede ser conocida en función de un parámetro, [pic 42]

En ese caso la integral de línea se reduce a una en t sustituyendo la dependencia  r(t) en F(r) y escribiendo, d r = (d r/dt)dt (si la derivada existe): [pic 43]

• Flujo: si S define una superficie en el espacio, se denomina flujo del campo vectorial F a través de la superficie S a la expresión

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