Integrales simples

Integrales simples

Introducción

El problema motivacional del cálculo integral, deseamos encontrar el área acotada por la gratica de una función y el eje x.

Este problema lleva al concepto de integral definida; donde. Dada una función f, encontrar una función F cuya derivada sea f.

Las operaciones de integración y derivación son mutuamente inversas. Así, si se deriva una función y después se integra, se obtiene de nuevo la función original (más una constante). Por ello, es habitual llamar antiderivada a la integral indefinida de una función.

Antiderivada.

Se dice que una función F es una antiderivada de una función f sobre algún intervalo I si F '(x) =f(x) para toda x en l

Dos antiderivadas de la misma función pueden diferir a lo mas en una constante por lo que:

Si G'(x) = F'(x) para toda x en algún intervalo [a, b], entonces

G(x) = F(x) + C

para toda x en el intervalo.

Por conveniencia, se introducirá la notación para una antiderivada de una función, Si F'(X) = f(x), la antiderivada más general de f se representa por:

 = F(x) + c.[pic 1]

EI símbolo  fue introducido por Leibniz y se denomina signo integral. La notación se denomina integral indefinida de f(x) respecto a x. La función f(x) se denomina integrando. EI proceso de encontrar una antiderivada se denomina anti diferenciación 0 integración. El numero C se denomina constante de integración.[pic 2][pic 3]

Ejemplo

[pic 4]

De este principio de las antiderivadas se derivan formulas simples de funciones básicas para facilitar los principios de integración

[pic 5]

Propiedades de las antiderivadas.

Sean F'(x) = f(x) Y G'(x) = g(x). Entonces

1. = kF(x) + C, donde k es cualquier constante.[pic 6]
2. [pic 7]

Métodos clásicos de integración

Existen diferentes métodos los cuales son:

Inmediatas. Se llaman integrales inmediatas las que se deducen directamente de las fórmulas de derivación. Son las más fáciles de realizar.

 Por fracciones

Cuando en el integrando se presentan cocientes entre polinomios, se tiene la oportunidad de poder encontrar un conjunto de integrales más simples equivalentes a la integral bajo análisis, a esta técnica de integración se le denomina “Integración por fracciones parciales”. Este método nos permitirá integrar cierta clase de funciones racionales (cociente de Polinomios)

Por Partes En el cual se utiliza la siguiente formula.

[pic 8]

Por Sustitución. Cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integración por sustitución.  

[pic 9]

EI problema de área

Así como la derivada es motivada por el problema geométrico de construir una

tangente a una curva, el problema histórico que conduce a la definición de integral definida es el problema de encontrar un área.

Encontrar el área A de una región acotada por el eje x y la gráfica de una función no

negativa continua y = f(x) definida sobre un intervalo la, b].

Si  es una función continua definida para  dividimos el intervalo [ a,b] en n subintervalos de igual ancho  . Hacemos que X0 (=a), x1,x2, ……xn (=b) sean los puntos extremos s¡ de estos subintervalos y elegimos X1*, X2*……Xn* como los puntos muestras en estos subintervalos, de modo que xi* se encuentre en el i-esimo subintervalo [xi-1,xi]. Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es.[pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13]

Como supusimos que  es continua, es posible probar que el límite de la definición previa siempre existe y da el mismo valor independientemente de cómo elijamos los puntos muestras . Si consideramos los puntos muestra como puntos extremos de la derecha, entonces , y la definición de la integral se convierte en [pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17]

Si elegimos los puntos muestra de manera que sean puntos extremos de la izquierda, entonces  y la definición se convierte en [pic 18]

[pic 19]

A manera de alternativa, podríamos elegir , como el punto de en medio del subintervalo o cualquier otro número entre  y .[pic 20][pic 21][pic 22]

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