Interpolación Extrapolación Lineal

X 0 5 10 20 30 40

Año 1980(A) 1985 1990(B) 2000 (C) 2010 ( D ) 2020

Y población 958 ¿? 1204 1456 1714 ¿?

m=(y2-y1)/(x2-x1) Pendiente.

mA=(1204-958)/(10-0)=24.6

mB=(1456-1204)/(20-10)=25.2

mC=(1714-1456)/(30-20)=25.8

y=mx+b Recta

Si los puntos se pueden unir por una recta decimos que forman parte de una línea y por eso se llama interpolación lineal (los intervalos deben de ser equidistantes, en este caso de 10 en 10), además, las pendientes entre los puntos deben de ser muy parecidas, esto quiere decir que se puede interpolar.

Teniendo los puntos A y B

X 0 10

Año 1980(A) 1990(B)

Y población 958 1204

Encontrar la población en el año de 1985

A(0,958) => y=mx+b => 958= m(0)+b => b=958

B(10,1204) => y=mx+b => 1204= m(10)+958

Calculamos la pendiente m=(1204-958)/(10-0)=24.6

C(5,?) => y=(24.6)(5)+958 => 1081

La población en 1985 es : 1081

Sólo se puede extrapolar para valores muy próximos a los extremos y vamos a usar el primer y último dato de nuestra tabla o gráfica.

ej. Calcular la población del año 2020

D(30,1714)=> y=mx+b=> 1714=m(30)+958

calculamos la pendiente m=(1714-958)/30=25.2

y=(25.2)(40)+958 = 1966

La población en el año 2020 será :1966

Interpolación Cuadrática

se necesitan tres puntos exactos que pasen por la gráfica de la función

se sustituyen los puntos en la fórmula de la ecuación cuadrática.

y=ax^2+bx+c

A(3,10)=>10 =a〖(3〗^2)+b(3)+c

B(2,3) =>3= a〖(2〗^2)+b(2)+c

C(-1,6)=>6= a〖(-1〗^2)+b(-1)+c

Se resuelve el sistema de ecuaciones

9a+3b+c=10------1

4a+2b+c=3---------2

a-b+c=6 -------------3

1 menos 2

9a+3b+c=10 – (4a+2b+c =3) = 5a +b = 7-----------------4

1 menos 3

9a+3b+c=10 –(a-b+c =6)= 8a+4b=4----------------5

reduciendo 4 y 5

-4(5a +b = 7) + (8a+4b=4) = -12a = -24

a = -24/-12

a= 2

sustituyendo a en 4

5(a)+b=7

5(2)+b=7

10+b=7

b =7-10

b=-3

sustituyendo a y b en 3

a-b+c=6

2-(-3)+c =6

2+3+c =6

5+c=6

c = 6-5

c=1

y=2x^2-3x+1

...