INTERPOLACION LINEAL Y CUADRATICA INTERPOLACION

INSTITUTO TECNOLￓGICO DE CUAUTLA

ING. MECATRￓNICA

M￉TODOS NUM￉RICOS

INVESTIGACION:

UNIDADES 4, 5 Y 6

M.C BECERRO TLATELPA ANGEL

PRESENTA:

VARGAS MALDONADO EDUARDO GEOVANI

INTRODUCCION

En la presente investigaci￳n se realizara la explicaci￳n de la mas detallada manera posible de los temas correspondientes de las unidades 4 a la 6 del temario de la materia m￩todos num￩ricos, en los cuales como el nombre de la asignatura lo dice habla de los diversos m￩todos por los cuales se pueden llegar a resolver los sistemas de ecuaciones para la creaci￳n de prototipos partiendo de la f￭sica, desde un dise￱o en el cual se consideran caracter￭sticas correspondientes al tipo de prototipo que se pretende desarrollar, y en base a eso se obtiene las ecuaciones pertinentes las cuales se deber￡n considerar para saber si este es funcional y aplicable en la vida diaria de las personas, as￭ pues sin mas pre￡mbulo comencemos con la explicaci￳n.

4.1 INTERPOLACION LINEAL Y CUADRATICA

INTERPOLACION

Consiste en encontrar el valor de la funci￳n F(x), de la cual s￳lo se conocen algunos puntos, para un valor de x que se encuentre entre dos valores consecutivos conocidos. En pocas palabras podr￭amos decir que:

La interpolaci￳n consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

INTERPOLACION LINEAL

Y pues a todo esto ﾿Qu￩ entendemos por interpolaci￳n lineal?

Bueno la interpolaci￳n lineal es:

Calcular el valor aproximado de una magnitud de un intervalo cuando conocemos algunos de los valores que toma a uno y otro lado de dicho intervalo. En la vida real encontramos situaciones carentes de informaci￳n que permiten determinar valores dependientes (y), en funci￳n de una o m￡s variables independientes. Es aqu￭ cuando utilizamos la interpolaci￳n.

Utiliza un polinomio de grado 1 tal que:

P(x)=ax+b

As￭ pues tambi￩n para la obtenci￳n del c￡lculo de la pendiente utilizamos la ecuaci￳n:

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

Y para obtener el valor de y despejando la ecuaci￳n 2 entonces obtenemos lo siguiente:

y=y1+m(x-x1)

As￭ pues para si volvemos a despejar la ecuaci￳n obtenemos la siguiente:

(x-x1)m=y-y1

Por otra parte la interpolaci￳n cuadr￡tica es cuando el polinomio que conviene es de 2ﾺ grado la interpolaci￳n recibe el nombre de cuadr￡tica. El polinomio interpolador es nico, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los c￡lculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un m￩todo que otro. A la vista de los datos se decide.

As￭ pues continuamos con el siguiente tema que se conoce como:

4.2 POLINOMIOS DE INTERPOLACIￓN: DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON Y DE LAGRANGE

Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El m￩todo m￡s comn empleado para este prop￳sito es la interpolaci￳n polinomial.

Recu￩rdese que la f￳rmula general de un polinomio de n-￩simo orden es:

f(X)= a_0+a_1 x+a_2 x^2+? a_n x^n

Para n + 1 puntos, existe uno y s￳lo un polinomio de n-￩simo orden o menor que pasa a trav￩s de todos los puntos. Por ejemplo, hay s￳lo una l￭nea recta (es decir un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos. El polinomio de interpolaci￳n consiste en determinar el nico polinomio de n-￩simo orden que se ajusta a los n + 1 puntos dados. Este polinomio proporciona una f￳rmula para calcular los valores intermedios.

Aunque existe uno y s￳lo un polinomio de n-￩simo orden que se ajusta a los n + 1 puntos, existen una gran variedad de f￳rmulas matem￡ticas mediante las cuales se puede expresar este polinomio. En esta unidad se estudian dos t￩cnicas alternativas que est￡n bien condicionadas para implementarse en una computadora. Estos son los polinomios de Newton y de Lagrange.

4.3 REGRESION POR MINIMOS CUADRADOS: LINEAL Y CUADRATICA

Consiste en explicar una de las variables en funci￳n de la otra a trav￩s de un determinado tipo de funci￳n (lineal, parab￳lica, exponencial, etc.), de forma que la funci￳n de regresi￳n se obtiene ajustando las observaciones a la funci￳n elegida, mediante el m￩todo de M￭nimos-Cuadrados.

Elegido el tipo de funci￳n f( ) la funci￳n de regresi￳n concreta se obtendr￡ minimizando la expresi￳n:

?_(i=1)^l??_(j=1)^k??(Yj-f(Xi))?^2 nij en el caso de la regresion de Y/X

?_(i=1)^l??_(j=1)^k??(Xi-f(Yj))?^2 nij en el caso de la regresion de X/Y

Puede probarse que es equivalente ajustar por m￭nimos cuadrados la totalidad de las observaciones (toda la nube de puntos) que realizar el ajuste de los puntos obtenidos por la regresi￳n de la media; de forma que la regresi￳n m￭nimo-cuadr￡tica viene ser, en cierto modo, la consecuci￳n de una expresi￳n anal￭tica operativa para la regresi￳n en sentido estricto.

Coeficientes de regresi￳n.

Se llama coeficiente de regresi￳n a la pendiente de la recta de regresi￳n:

En la regresi￳nY/X: b = Sxy / Sx2

En la regresi￳n X/Y b' = Sxy / Sy2

El signo de ambos coincidir￡ con el de la covarianza, indic￡ndonos la tendencia (directa o inversa a la covariaci￳n).Es interesante hacer notar que b.b'= r2.

Una vez comprendida la unidad 4 continuamos con la unidad 5

UNIDAD 5 DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA

5.1 DERIVACION NUMERICA

Las formulas que se aplican en la derivaci￳n num￩rica nos auxilian para desarrollar algoritmos utilizados en la resoluci￳n de problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.

﾿Cu￡les son los m￩todos mediante los cuales se puede resolver?

Para su aplicaci￳n en los problemas ya antes mencionados se puede usar alguno de los pr￳ximos procedimientos:

FORMULAS DE DIFERENCIAS CENTRADAS

Son f￳rmulas de aproximaci￳n a fﾴ(X) que requieren que la funci￳n se pueda evaluar en abscisas situadas sim￩tricamente a ambos lados del punto X_0 (donde se desea hallar la derivada).

Las formulas que se aplican son las siguientes:

...