Desigualdades lineales y cuadráticas

Modulo de clase

Modalidad: Secundaria a distancia       Fecha: 

Instituto: 15 de Septiembre/Rio Mena/Cárdenas    Materia: Matemática   Nivel: 11vo Grado

Duración: 90 Min     Docente: Lic. Bayardo Bustos Flores   No de encuentros: 1 al 10

I Unidad: Desigualdades lineales y cuadráticas

Contenidos: Notación de intervalos. Notación de desigualdades. Conjunto solución. Operaciones con intervalos. Propiedades de las desigualdades. Resolución de desigualdades. Desigualdades lineales. Desigualdades cuadráticas. Valor absoluto. Desigualdades con valor absoluto.

Objetivos a alcanzar: 1- Identifica la notación de intervalos y de desigualdades de manera contextualizada.   2- Utiliza y aplica propiedades, notación de intervalos y de desigualdades para dar solución de ejercicios relacionados con la vida real. 3- Utiliza y aplica propiedades para resolver desigualdades lineales y cuadráticas. 4- Resuelve y encuentra el conjunto solución de desigualdades lineales con valor absoluto.

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en los otros corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional.[pic 1]

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

• [pic 2] o bien [pic 3]
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

[pic 4]

En la definición de límite de una función real se considera como dominio un intervalo abierto.

En la topología usual de la recta ( o ℝ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].

Intervalo cerrado[pic 5]

Sí incluye los extremos.

• Que se indica: [pic 6]
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades. Incluye únicamente uno de los extremos.[pic 7]

• Con la notación [pic 8] o bien [pic 9] indicamos. En notación conjuntista:[pic 10]

[pic 11]

• Y con la notación [pic 12] o bien [pic 13], En notación conjuntista:

[pic 14]

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes operadores como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.  

Intervalo infinito[pic 15]

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

• Con la notación [pic 16] indicamos. En notación conjuntista:

[pic 17]

[pic 18]

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación [pic 19], [pic 20]

[pic 21]

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

• Con la notación [pic 22]   indicamos. En notación conjuntista:

[pic 23]

Sin incluir el extremo:[pic 24]

• Y con la notación [pic 25], En notación conjuntista:

[pic 26]

[pic 27]

Para todo valor real:

• Y con la notación [pic 28], En notación conjuntista:

[pic 29]

Operaciones con intervalos

En notación conjuntista: supongamos el conjunto [pic 30]

Esto se lee: A son todos los x reales tales que x es menor que cuatro.

Y el conjunto [pic 31]

El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.[pic 32]

El conjunto unión de A y B sería:

[pic 33]

O también se puede anotar:

[pic 34]

La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.[pic 35]

El conjunto intersección de A y B no existe:

[pic 36]

porque A y B no tienen puntos en común.

[pic 37]

Definido el conjunto:[pic 38]

Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.[pic 39]

El conjunto intersección de A y C es:

[pic 40]

El conjunto intersección es aquel que toma los valores                                                          en común entre todos los conjuntos incluidos.

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

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